El problema es el siguiente
Sea $R$ sea un anillo conmutativo y sea $P$ sea un ideal primo.
Demostrar que el conjunto de no unidades en $R_{P}$ es el ideal $P_{P}$ Además $R_{P}$ es un anillo cuasi local.
He buscado y he encontrado esta solución.
Lo ideal $P_P$ es $$ P_P=\left\{\frac{a}{s}: a\in P, s\in R\setminus P\right\} $$ Demostremos que ningún elemento de $P_P$ es una unidad. [ ] $a\in P$ , $s\in S=R\setminus P$ , $x\in R$ y $t\in S$ sea tal que $$ \frac{a}{s}\frac{x}{t}=\frac{1}{1} $$ Por definición, existe $u\in S$ con $u(ax-st)=0$ o $uax=ust$ . Esto es una contradicción $uax\in P$ pero $ust\in S$ .
Por otra parte, cada elemento de $R_P$ no en $P_P$ i En efecto, si $a/s\notin P_P$ tenemos $a\notin P$ Así que $(a/s)^{-1}=s/a$ .
No entiendo por qué tenemos dos direcciones de prueba aquí, ¿no es suficiente para mostrar la primera dirección solamente?
