Confusión en la intersección de imágenes de conjuntos.

Question

No consigo entender la siguiente relación.

si $f:X\rightarrow Y$ y $S,T\subseteq X$ entonces $$f(S\cap T)\subseteq f(S)\cap f(T)$$

El principal problema es que siempre acabo mostrando la igualdad en lugar del subconjunto.

Ejemplo $f:X=\{x_1,x_2,x_3\}\rightarrow Y=\{y_1,y_2,y_3\}$ donde $f$ se define por $f(x_1)=f(x_2)=y_1$ , $f(x_3)=y_3$ y $S=\{x_1\},T=\{x_2,x_3\}$ Entonces claramente $f(S)\cap f(T)\subseteq f(S\cap T)$ no se cumple, por lo que la igualdad no es posible.

Pero Mi pregunta es donde me estoy equivocando en la siguiente prueba :

$$y\in f(S) \cap f(T)$$ $$\implies y\in f(S) \land y\in f(T)$$ $$\implies \exists x\in S \land \exists x\in T$$ tal que $y=f(x)$ $$\implies x\in S\cap T$$ $$\implies f(x)=y\in f(S\cap T)$$ Por lo tanto $$f(S)\cap f(T)\subseteq f(S\cap T)$$

¿Puede corregirme, por favor?

Answer 1

En la línea tres, se utiliza el mismo $x$ en ambos $S$ y $T$ . Todo lo que sabes es que existe un $x\in S$ y existe un $z\in T$ para que $f(x)=y=f(z)$ . No hay ninguna razón por la que necesite el mismo elemento en ambos $S$ y $T$ , sólo un par de elementos con la misma imagen.

En tu ejemplo, $f(S)=\{y_1\}$ y $f(T)=\{y_1,y_2\}$ Así que $f(S)\cap f(T)=\{y_1\}$ . Entonces, cuando se toman preimágenes en $S$ y $T$ de $y_1$ se obtiene $x_1\in S$ y $x_2\in T$ . Por supuesto, no se trata del mismo elemento.