Teorema de extensión de Tietze: Supongamos que $X$ es un espacio métrico y $S$ es un subconjunto cerrado de $X$ . Supongamos que $f \in C(S,\mathbb R)$ donde $C(S,\mathbb R)$ se refiere al espacio de funciones continuas acotadas de $S \rightarrow \mathbb R$ . Entonces $~\exists ~\bar f \in C(X, \mathbb R)$ tal que $\bar f_{|S} = f, \inf \bar f(X) = \inf f(S), \sup \bar f(X) = \sup f(S)$ .
Lema utilizado en la demostración :~ Supongamos $X$ es un espacio métrico y $S$ es un subconjunto cerrado de $X$ . Supongamos que $f \in C(S,\mathbb R)$ no es constante. Sea $a = \inf f(S), ~b= \sup f(S) , ~k = \dfrac {b-a}{3}$ Entonces, existe una función $f^+$ que tiene las propiedades : $f^+(X) \subseteqq [a+k,b-k], \inf (f-f^+)(S) = -k,~ \sup (f-f^+)(S)=k$
Prueba: Si $F$ es constante, el resultado es trivial. Entonces, suponemos lo contrario.
Defina $h_1 = f^+$ .
Paso $1$ : Dado que $f : S \rightarrow [a,b]$ es una función continua. Entonces : sabemos que $\sup (f-f^+)(S) = k , \inf ( f - f^+)(S) = -k$
$\therefore f - h_1 = f - f^+$ es una función de $S \rightarrow [-k,k]$ y $f-f^+ \in C(S,\mathbb R)$ .
Paso $2$ : Aplicando el mismo proceso a la función $f - f^+ = f - h_1$ obtenemos :
$a' = -k, ~b' = k, k'=\dfrac {2k}{3}$ en relación con $[-k,k]$
$h_2 = (f-h_1)^+$
Utilizando las relaciones mencionadas en el lema: Obtenemos : $\inf (f-h_1-h_2)= -\dfrac{2k}{3}, \sup (f-h_1-h_2)= \dfrac {2k}{3}. $
$\therefore f-h_1-h_2 :S \rightarrow [-\dfrac {2k}{3}, \dfrac {2k}{3} ]$
$\therefore k'' = \dfrac {4k}{3 \cdot 3} = \dfrac {4k}{9}$
Paso de aplicación $1$ de nuevo, que $h_3 = (f-h_1-h_2)^+$
Del mismo modo, obtenemos una secuencia $(h_n)$ con la propiedad de que $h_n= (f-h_1-h_2 - \cdots h_{n-1})^+$ y : $\inf (f-h_1-h_2 - \cdots h_n)= -\dfrac {2^{n-1}k}{3^{n-1}}, \sup (f-h_1-h_2 - \cdots h_n) = \dfrac {2^{n-1}k}{3^{n-1}}$
y $h_n \in [-\dfrac {2^{n-1}k}{3^{n}}, \dfrac {2^{n-1}k}{3^{n}}]$
Paso $3$ : Sea $s_n= h_1+ \cdots h_n$ .
Entonces $(s_n)$ es una sucesión de Cauchy en $C(X,\mathbb R)$ desde $|s_m-s_n| \le |h_1| + \cdots |h_n| \le (2/3)^n k$
Desde $C(X,\mathbb R)$ está completo $(s_n)$ converge a algún $\bar f \in C(X,\mathbb R)$
Paso $4$ : Ahora, afirmamos que $\bar f$ es una extensión deseada de $f$ . Es en este paso donde estoy encontrando problemas de comprensión.
Desde entonces, $|f - h_1 - \cdots - h_n| \le (2/3)^n k \implies s_n \rightarrow \bar f$ uniformemente en $A$
PERO, $|s_n| \le |h_1| + \cdots + |h_n| \le \dfrac {k}{3} ( 1 + \dfrac {2}{3} + {(\dfrac {2}{3}})^2 + \cdots )= k \implies \bar f_{|S} \in [-k,k]$ . Pero, la gama de $\bar f$ en $A$ debe ser $[a,b]$ lo que significa $\bar f$ no es la extensión deseada.
Por favor, ayúdenme a entender dónde puedo estar equivocado. Muchas gracias por leerme.
