¿por qué el cos de un ángulo entre dos vectores es su producto puntual sobre el producto de su longitud?

Question

Así que leí en Internet que para encontrar ángulo $\theta$ entre dos vectores $v=(v_1,...,v_n)$ y $u=(u_1,...,u_n)$ resolvemos para $\cos(\theta)=\frac{u \text{ dot } v}{\|u\|\|v\|}$ . Pero no entiendo por qué ¿por qué es cierta esta fórmula?

Entiendo que la norma al cuadrado de un vector $u$ es $\sum_1^n u_i^2$ por el teorema de Pitágoras. ¿Ayudaría esto a demostrar el resultado?

Answer 1

$$\frac u{\|u\|}, \frac v{\|v\|}$$ son vectores unitarios, y WLOG podemos tomar el producto punto de los dos vectores unitarios $(1,0)$ y $(\cos\theta,\sin\theta)$ que forman un ángulo de apertura $\alpha$ :

$$(1,0)\cdot(\cos\alpha,\sin\theta)=1\cdot\cos\theta+0\cdot\sin\theta=\cos\theta.$$

Como el producto punto es invariante a una rotación, el producto punto es siempre el coseno del ángulo entre los vectores.