Sea $Tx=\sum_{n=1}^\infty \lambda_n \langle x,e_n\rangle e_n$ estar acotado donde $\{\lambda_n\}_n$ son los valores propios complejos y $\{e_n\}_n$ son una base ortonormal del espacio separable $H$ . Para cualquier función continua $f : \mathbb C \to \mathbb C$ defina $f(T)(x) = \sum_{n=1}^\infty f(\lambda_n) \langle x,e_n\rangle e_n$ . Demostrar que $f(T) : H \to H$ es un operador lineal acotado.
Respuesta
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Se reduce a que $\lambda _n$ debe estar acotada. Supongamos lo contrario, entonces usted puede elegir una subsecuencia $\lambda_{k_n}$ tal que $ \sum_{n\geq 0} \lambda_{k_n}^{-2} $ converge.
Ahora elige que $x=\sum_{n\geq 0}\lambda_{k_n}^{-1} e_{k_n} $ . Entonces $T(x) = \sum_{n \geq 0} e_{k_n}$ que no es un elemento de $H$ . Así que tener $T$ siquiera tiene sentido necesitamos $\lambda _n$ estar acotado. Ahora no es difícil ver que si $\lambda _n$ están acotadas, entonces $T$ es continua.
A partir de aquí desde la recogida $\lambda _n $ se encuentra en un conjunto acotado de $\mathbb{C}$ y puesto que $f$ es continua por lo que $f(\lambda _n)$ Hazlo.
Y por lo tanto $f(T)$ es continua.
