Si se sabe que las 4 cartas tienen distinto valor, ¿cuál es la probabilidad de que la primera carta sea una pica?

Question

Primero, elijo la pala; 13 formas. Luego tiro las otras 3 cartas de ese rango. De las 48 cartas restantes elijo 1, y tiro las otras 3 cartas de ese rango. De las 44 cartas restantes elijo 1, y tiro las otras 3 cartas de ese rango. De las 40 cartas restantes elijo 1. El tamaño del espacio muestral es C(52,4). Por lo tanto,

$P(E) = (13)(48)(44)(40)/C(52,4)$

pero éste es mayor que 1.

En segundo lugar, probé un enfoque condicional. P(1ª carta es una pica|las 4 cartas son de distinto valor). Así que la probabilidad de que las cuatro cartas sean de distinto valor es P = C(13,4)/C(54,4). Entonces la probabilidad de que la primera carta sea una pica es P = C(13,1)C(12,3)/C(52,4). Pero de nuevo la probabilidad condicional es mayor que 1.

¿Qué estoy haciendo mal?

Answer 1

Su numerador cuenta los robos ordenados de cuatro cartas, mientras que el denominador cuenta los robos no ordenados, por lo que hay aproximadamente un factor $24$ en exceso. El planteamiento es erróneo porque se da que los rangos son diferentes, no se calcula la probabilidad de que de un sorteo aleatorio salga primero una pica y otros tres rangos.

La respuesta simple es argumentar que las otras tres cartas no cambian la posibilidad de que la primera carta sea una pica en $\frac 14$ o argumentar simetría entre las demandas para obtener el mismo resultado.

Answer 2

La respuesta es "obviamente". $\frac14$ pero si quieres hacer el cálculo detallado entonces:

• El número de formas de elegir $4$ tarjetas en orden es $52 \times 51 \times 50 \times 49$
• El número de formas de elegir $4$ cartas de distinto rango en orden es $52 \times 48 \times 44 \times 40$
• El número de formas de elegir $4$ cartas de distintos rangos en orden con la primera siendo una pica es $13 \times 48 \times 44 \times 40$ como ya ha dicho

Por lo tanto, si se sabe que el $4$ las cartas tienen distinto valor, la probabilidad de que la primera carta sea una pica es $$\dfrac{ 13 \times 48 \times 44 \times 40}{52 \times 48 \times 44 \times 40}= \dfrac{13}{52} = \dfrac14$$

Uno de tus errores es tener el numerador como un recuento de cuatro cartas en orden y el denominador como un recuento de cuatro cartas desordenadas

Answer 3

Estás contando dos veces. Elegir un palo, luego un diamante, luego un corazón, por ejemplo, da la misma mano que elegir un corazón, luego un diamante y luego un palo. Pero todo esto es innecesario. La primera carta tiene la misma probabilidad de ser una pica que un palo, o un corazón o un diamante, así que la probabilidad es $\frac14.$

En caso de que no haya dejado claro lo que quiero decir, si la pregunta fuera "¿Cuál es la probabilidad de que la primera carta sea un diamante?", ¿qué harías de forma diferente?

Answer 4

El tamaño del espacio muestral es C(52,4).

No, no lo es. El espacio muestral son todos los conjuntos de 4 cartas con diferentes rangos. Hay P(13,4) formas diferentes de elegir los rangos (ya que estás distinguiendo entre las cartas en el numerador, deberías hacerlo en el denominador, así que son permutaciones, no combinaciones) y una vez que eliges los rangos, tienes que elegir entre cuatro palos cuatro veces, así que son 4^4. Esto da 1/4 como respuesta final. Esto da 1/4 como respuesta final.

Por lo tanto, la probabilidad de que las cuatro cartas sean de distinto valor es P = C(13,4)/C(54,4).

Incluso asumiendo que el 54 es un error tipográfico y tomando como 52, esto no es correcto. C(13,4) te da el número de formas diferentes de elegir diferentes rangos. Pero elegir rangos no es lo mismo que elegir tarjetas . Dado un rango, hay cuatro cartas diferentes correspondientes a ese rango, por lo que hay que multiplicarlo por 4^4.

Entonces la probabilidad de que la primera carta sea una pica es P = C(13,1)C(12,3)/C(52,4).

No presentas qué lógica estás usando, así que no podemos decir exactamente qué falló, pero un problema aquí es que pareces estar distinguiendo entre la "primera" carta en el numerador, pero en el denominador estás usando combinaciones, lo que significa que no estás distinguiendo entre cartas. Así, por ejemplo, (2S, 3D, 4H, 5S) y (5S, 3D, 4H, 2S) se contarían como manos separadas en el numerador, pero como la misma mano en el denominador.