$\forall f \in C[a,b], \; p_n \xrightarrow{u} f, \; p_n $ polinomios pares, $\Leftrightarrow 0 \notin (a,b)$

Question

Demostrar que toda función continua $f:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}$ es el límite uniforme de una sucesión de polinomios pares si y sólo si $(a,b)$ no contiene el origen.

Lo que he intentado, usando ideas de otras preguntas de esta comunidad:

$\Leftarrow)$ En primer lugar, observamos que $(a,b) \subseteq (0,b).$ Definimos $g:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}$ por $g(x)=f(h(x))=f(\sqrt x)$ que es

continua en $[a,b]$ . Para ello $g$ existe una secuencia de polinomios $\{p_n\}$ tal que $p_n \xrightarrow{u} g$ . Esto implica que $$p_n(x^2)\xrightarrow{u} g(x^2)=f(x), \quad x \in [a,b].$$ Por lo tanto, hay polinomios pares tales que $p_n \xrightarrow{u} f$ .

$\Rightarrow)$ No veo esta dirección.

Answer 1

Para simplificar, supongamos que $[a,b]=[-1,1]$ . Y que $p_n$ una sucesión de polinomios de grado par que convergen a $f$ uniformemente.

Ahora, por cada $x$ , $p_n(x)\rightarrow f(x)$ y $p_n(-x)\rightarrow f(-x)$ . Sin embargo, dado que $p_n$ son funciones pares obtenemos $p_n(-x)=p_n(x)$ . Por lo tanto, deducimos que $p_n(x)$ y $p_n(-x)$ convergen al mismo límite, por lo que $f(x)=f(-x)$ . Así que.., $f$ debe ser una función par.

En resumen $f$ no es una función par entonces no podemos encontrar tal secuencia de polinomios, lo que prueba la $\Rightarrow$ dirección.