Es $\frac{1}{\sin x}-\frac{1}{x}$ uniformemente continua en $(0,1)$ ?

Question

Así que tengo la tarea de encontrar si $\frac{1}{\sin(x)}-\frac{1}{x}$ es uniformemente continua en el intervalo abierto $I=(0,1)$ . Mirar primero las formas "sencillas" de demostrarlo:

Obviamente no puedo extender la función a $[0,1]$ ya que el límite en $x=0$ no está definido.

He intentado comprobar si es un derivado, $\frac{1}{x^2}-\frac{\cos(x)}{\sin^2(x)}$ está limitada en $I$ en cuyo caso la función es uniformemente continua por definición. Utilizando $sin(x)\approx x$ cuando $x\rightarrow0$ Veo que

$\frac{1}{x^2}-\frac{\cos(x)}{\sin^2(x)}\approx \frac{1-\cos(x)}{\sin^2(x)}=\frac{1-\cos(x)}{1-\cos^2(x)}=\frac{1-\cos(x)}{(1-\cos(x))(1+\cos(x))}=\frac{1}{1+\cos(x)}$ cuando $x\rightarrow0$

Así que intuitivamente parece que sí está acotado, pero ¿para qué $M$ es $|f'(x)|<M$ ? No he demostrado que aumente o disminuya estrictamente el $I$ así que no puedo asumir $M=max[f'(0),f'(1)]$ . También este método simplemente se siente asqueroso aquí.

Supongo que tendré que usar el delta épsilon para probar/desmentir la continuidad uniforme en el intervalo, pero no tengo ni idea de qué valores insertar mientras procedo con eso (la parte del seno inverso me tiene absolutamente perplejo, no consigo relacionarlo con tareas anteriores usando otras funciones con $sin(x)$ para demostrar/refutar la continuidad uniforme).

Como nota al margen, hace tiempo que no trabajo con trigonometría, así que me cuesta identificar de buenas a primeras varias identidades trigonométricas.

Answer 1

Calculemos $$\lim_{x\to0}\left(\frac{1}{\sin x}-\frac{1}{x}\right) = \lim_{x\to0}\frac{x-\sin x}{x\sin x} = \lim_{x\to0}\frac{x-x+x^3/6+o(x^3)}{x^2+o(x^2)}=0$$ Así, el límite hace existe.

Así que su función es la restricción a $(0,1)$ de la función continua $$f(x)=\begin{cases} 0 & \text{if $x=0$}\\[6px] \dfrac{1}{\sin x}-\dfrac{1}{x} & \text{if $0<x\le1$} \end{cases}$$ que es uniformemente continua porque es continua sobre un intervalo cerrado y acotado.

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Obsérvese que el límite en $0$ debe porque una función uniformemente continua sobre $(0,1)$ se extiende a una función continua sobre $[0,1]$ que es la terminación.

El límite también puede calcularse con l'Hôpital: $$\lim_{x\to0}\frac{x-\sin x}{x\sin x}= \lim_{x\to0}\frac{x-\sin x}{x^2}= \lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{2x}= \lim_{x\to0}\frac{\sin x}{2}=0$$ (la primera igualdad aprovecha el hecho de que $\lim_{x\to0}\frac{x}{\sin x}=1$ ).

Answer 2

En $x>\sin x$ en $(0,1)$ $$f'(x)<{1\over1+\cos x}<1\;\forall\; x\in(0,1)$$ Sólo tienes que sustituir $\approx$ con $<$ . No necesitas eso. $\lim_{x\to0}{\sin x\over x}=1$ .