Demostrar que para toda matriz cuadrada existe una matriz invertible B, de modo que BA es triangular.

Question

Me dan una matriz A sus dimensiones son n x n .

Se me pide que demuestre que una matriz invertible B tal que el producto de las matrices BA es triangular.

¿Alguna ayuda?

Answer 1

La eliminación gaussiana (también conocida como reducción de filas) transforma una matriz cuadrada en una matriz triangular superior. Cada operación elemental de fila

• multiplicar una fila por un número distinto de $0$
• suma de una fila con otra fila multiplicada por un número cualquiera
• intercambiar dos filas

puede realizarse como la multiplicación por una matriz invertible. Es decir, la matriz que realiza cada operación es la que se obtiene a partir de la matriz identidad sometida a la misma operación elemental de filas.

Por lo tanto, la operación sucesiva de filas elementales da $$ U = E_k E_{k-1} \dots E_2 E_1 A $$ donde $U$ está en forma escalonada (reducida) (por tanto, triangular). Entonces $$ A=(E_k E_{k-1} \dots E_2 E_1)^{-1}U $$ es la descomposición requerida.

Answer 2

Si $A=QR$ es una factorización QR de $A$ entonces $Q^*A=R$ . Por lo tanto, la afirmación es cierta con $B=Q^*$ .