Sea $R$ sea un anillo local noetheriano conmutativo y $M$ sea una $R$ -módulo. Es el número de submódulos maximales de $M$ ¿Finito?
Respuesta
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Puede consultar $V=M/mM$ como un espacio de dimensión finita sobre $k=R/m$ (el campo residual).
El conjunto de $R$ -submódulos de $M$ que contiene $mM$ está por Nakayama en biyección con el conjunto de $k$ -subespacios de $V$ .
Supongo $V$ tiene dimensión $\geq 2$ . ( si la dimensión es $1$ , $M=Ra$ para algunos $a \in M$ tiene exactamente un subespacio maximal, $ma$ ).
Así que si $V$ tiene infinitos subespacios estrictos maximales (es decir $k$ es infinito), $M$ tiene infinitos submódulos maximales.
Para demostrar lo contrario, necesitamos demostrar que los submódulos maximales de $M$ contienen siempre $mM$ . Ahora bien, si $N$ es un submódulo maximal de $M$ que no contenga $mM$ , $M=N+mM$ y por Nakayama obtenemos de nuevo una contradicción.
Como conclusión: $M$ tiene finitamente muchos submódulos maximales si el campo residual es finito.
