Para mí es más sencillo pensar en una variación suave de la suma de cuñas en la que en lugar de limitarnos a identificar dos puntos insertamos un camino entre ellos. Entonces podemos describir los espacios de recubrimiento de una forma bastante bonita: son "grafos de espacios" en los que las "aristas" corresponden a elevaciones del camino que conecta los puntos de la cuña y los "vértices" son espacios de recubrimiento de los espacios que estamos cuñando. La regla para conectar los "vértices" mediante "aristas" es que si un "vértice" dado es un $n$ -fold cover entonces contiene $n$ elevaciones de su punto de cuña lo que significa que debe tener "grado" $n$ en este "gráfico". (También se necesitan algunos datos auxiliares para determinar unívocamente un mapa de cobertura). Además, este espacio de cobertura es un $m$ -si hay $m$ "bordes" totales.
Es mucho más fácil explicarlo con imágenes. Puede encontrar algunas en esta entrada del blog donde $X = B C_2$ y $Y = B C_3$ de modo que la suma de cuñas es el espacio clasificador del grupo modular $\Gamma = PSL_2(\mathbb{Z}) \cong C_2 \ast C_3$ .
Esta observación, junto con la clasificación de los espacios de cobertura y el teorema de Seifert-van Kampen, implica la Teorema del subgrupo de Kurosh clasificar subgrupos de productos libres, que es una generalización del hecho clásico de que los subgrupos de grupos libres son libres.
I piense en la historia debería ser la misma para la suma de cuña ordinaria de complejos CW (pero probablemente no espacios más generales); deberíamos ser capaces de encoger el "borde" sin afectar a los espacios de cobertura. Pero no estoy seguro al 100%.
