Ecuación de lugar de un proyectil en términos de $\tan\theta$

Question

Esta es la ecuación del lugar geométrico de un proyectil proyectado desde el suelo con un ángulo $\theta$ con una velocidad inicial $u$ :

$$ y = x\tan\theta - \frac{gx^2}{2u^2\cos^2\theta} \tag{1} $$

Acabo de leer que esta ecuación cuadrática se puede expresar en términos de $\tan\theta$ también. Reescribiendo la ecuación $\left(1\right) :$

$$ \begin{align} y &~=~ x\tan\theta - \frac{gx^2\sec^2\theta}{2u^2} \\[5px] &~=~ x\tan\theta - \frac{gx^2(1+ \tan^2\theta)}{2u^2} \end{align} $$

Al expandir y reordenar los términos, obtenemos esta cuadrática en términos de $\tan\theta$

$$ \frac{gx^2}{2u^2}\tan^2\theta - x\tan\theta + \left(\frac{gx^2}{2u^2}+y\right) = 0 \tag{2} $$

Esto es lo que he leído: Si los valores de $u$ , $x$ y $y$ son constantes, entonces obtendríamos dos valores de $\tan\theta$ es decir, dos valores del ángulo de proyección $\theta :$ $\theta_1$ y $\theta_2 .$

Lo que significa en términos físicos (según lo que he leído) es, si estamos proyectando un proyectil con una velocidad inicial $u$ y queremos que toque una coordenada determinada $\left(x,y\right) ,$ entonces podemos hacer que pase por la coordenada dada proyectándola en dos ángulos diferentes $\theta_1$ y $\theta_2$ que obtenemos de la ecuación $\left(2\right) ,$ y no más que estos dos ángulos (manteniendo la magnitud de la velocidad inicial $u$ lo mismo).

(He tenido que escribirlo todo para que quede clara mi pregunta. Podría haber formulado mi pregunta directamente, sin escribir las ecuaciones. Pero quería que se entendiera mejor).

Mi pregunta es: No soy capaz de averiguar si el discriminante de la ecuación $\left(2\right)$ es positivo, ¿verdad? Para obtener dos valores de $\theta$ de esa ecuación, su discriminante debe ser positivo. Tengo la duda de que no lo sea (probablemente me equivoque). Pero no consigo averiguar si es positivo o no.

En segundo lugar, ¿existe una ecuación como la ecuación $\left(2\right) ?$ ¿Es una ecuación correcta? No la encontré en mi libro, ni en ningún otro libro. Me encontré con algunos materiales de estudio al azar, y ahí es donde vi esto. Quiero saber si esta ecuación es correcta.

Answer 1

Sus cálculos son correctos. La razón por la que es difícil determinar el signo del discriminante es que depende de los valores de $x$ , $y$ y $u$ . Hay tres posibilidades:

• El discriminante es positivo: Hay dos valores de $\theta$ que dará en el blanco $(x,y)$ .
• El discriminante es cero: Hay exactamente un ángulo que resultará en dar en el blanco. Cualquier otro ángulo se queda corto.
• El discriminante es negativo: No hay ángulos de disparo que den en el blanco. El blanco está demasiado lejos o demasiado alto, o ambas cosas.

Para un ejemplo de la última posibilidad, si su velocidad inicial es $u = 30\,\textrm{m/s}$ y tu objetivo está en $(x,y) = (1000\,\textrm{m}, 1000\,\textrm{m})$ entonces definitivamente no hay ángulo que lleve el proyectil al objetivo. El discriminante de la ecuación (2) será negativo.

Answer 2

tienes estas dos ecuaciones:

$\ddot{x}=0$

$\ddot{y}=-g$

por lo que obtenemos para $x$

$$x=v_x\,t\tag 1$$

y para $y$

$$y=-\frac{g\,t^2}{2}+v_y\,t\tag 2$$

donde :

$v_x=v\,\cos(\theta)\quad $ y $\quad v_y=v\,\sin(\theta)$

Calcule $t$ de la ecuación (1) y la ponemos en la ecuación (2) obtenemos nuestra ecuación

$$y=-\frac{1}{2}\frac{g\,x^2}{v^2\,\cos^2(\theta)}+\tan(\theta)\,x\tag 3$$

$x_{\max}$ llegar a $y=0\quad $ obtenemos con la ecuación (3)

$$x_{\max}=\frac{2}{g}\,v^2\,\cos(\theta)\,\sin(\theta)=\frac{v^2}{g}\sin(2\,\theta)\tag 4$$

para encontrar el ángulo $\theta_{\max}$ que nos dan la máxima distancia hacia x. diferenciamos la ecuación (4) con respecto a $\theta$ y poner el resultado igual a cero.

$\frac{d}{d\theta}\,x_{\max}=\frac{2 v^2}{g}\cos(2\,\theta_{\max}))\overset{!}{=}0$

por lo que obtenemos para $\theta_{\max}$

$$\theta_{\max}=\frac{\pi}{4}$$