cómo hacer una fracción parcial $\frac{1}{(x+1)^2}$

Question

Necesito integrar $\frac{1}{(x^2+2x+1)}$ por lo que necesito usar la fracción parcial ya que el polinomio se puede factorizar como $\frac{1}{(x+1)^2}$ . Esto es lo que he probado:

$$\frac{A}{(x+1)} + \frac{B}{(x+1)^2}$$

$$A\cdot(x+1)^2 + B\cdot(x+1)$$

$$Ax^2+2Ax+A+Bx+B$$ $$Ax^2+(2A+B)x+(A+B)$$

Así que..,

$$A=0$$ $$2A+B=0$$ $$A+B=1$$

pero eso no tiene sentido, porque si $A=0$ entonces $2A+B$ no puede ser cero, ¿podría decirme cuál es el problema?

Answer 1

La fracción se convierte en $$ \frac{A}{(x+1)} + \frac{B}{(x+1)^2}= \frac{A(x+1)+B}{(x+1)^2}= \frac{Ax+(A+B)}{(x+1)^2} $$ así que $A=0$ y $B=1$ . De hecho $$ \frac{1}{(x+1)^2} $$ ya está en forma de "fracciones parciales". Y $$ \int\frac{1}{(x+1)^2}\,dx=-\frac{1}{x+1}+C $$

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Sería diferente si empezaras con $$ \frac{x}{(x+1)^2} $$ porque entonces la descomposición daría $A=1$ y $B=-1$ Así que $$ \int\frac{x}{(x+1)^2}\,dx= \int\left(\frac{1}{x+1}-\frac{1}{(x+1)^2}\right)\,dx= \log|x+1|+\frac{1}{x+1}+C $$

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¿Dónde está el problema con tus cálculos? Has hecho $$ \frac{A}{(x+1)} + \frac{B}{(x+1)^2}= \frac{A(x+1)^2+B(x+1)}{(x+1)^3} $$ y luego lo igualó con $\frac{1}{(x+1)^2}$ sin tener en cuenta los diferentes denominadores.

Answer 2

Sólo mirando la línea $\frac{A}{(x+1)} + \frac{B}{(x+1)^2} = \frac{1}{(x+1)^2}$ vemos claramente que $A = 0, B = 1$ . En cuanto a tu error, has multiplicado por $(x+1)$ una vez de más al eliminar los denominadores.

Answer 3

Se puede integrar directamente sin fracción parcial como $$\int { \frac { dx }{ { \left( x+1 \right) }^{ 2 } } =\int { \frac { d\left( x+1 \right) }{ { \left( x+1 \right) }^{ 2 } } } =-\frac { 1 }{ x+1 } +C } $$