Prueba de que distintos productos directos conducen a elementos de distinto orden.

Question

Contexto y observaciones:

Actualmente estoy trabajando en el Teorema fundamental de los grupos abelianos finitamente generados y sus diferentes usos. En particular, empecé a observar que si tomamos cualquier grupo abeliano, y nos fijamos en su orden, podríamos ver rápidamente a qué tipo de producto directo de grupo cíclico de orden primo-potencia es isomorfo este grupo. Por ejemplo, si un grupo abeliano $G$ tiene orden $8 = 2^4$ sé (por el teorema fundamental) que $G$ será isomorfo a uno de los siguientes : $\mathbb{Z}_{2^3}$ , $\mathbb{Z}_{2^2} \times \mathbb{Z}_2$ o $\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2$ .

Ahora bien, lo que hice en este ejemplo para saber con precisión a cuál de los $3$ es $G$ isomorfo, es que conté cuántos elementos de cada orden hay en $G$ e intentar que este número se corresponda con uno de los grupos cíclicos que he mencionado antes.

Utilizando este método con nuestro ejemplo, si todos los elementos de $G$ son exactamente de orden $2$ tenemos : $\mathbb{Z}_{2^3}$ tiene un elemento de orden $8$ por lo que no son isomorfas. Similarmente, $\mathbb{Z}_{2^4}$ tiene un elemento de orden $4$ Por lo tanto $G$ no es isomorfo a $\mathbb{Z}_{2^2} \times \mathbb{Z}_2$ . Por lo tanto, tiene que ser isomorfo al restante, es decir : $ G \cong \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2$ .

Ahora, estoy intentando ver si hay un teorema que encierre esta última afirmación: dos productos directos de grupos cíclicos de órdenes de potencias primos no pueden tener exactamente el mismo número de elementos de cualquier orden a menos que sean iguales.

Si alguien tiene alguna indicación sobre este tipo de resultados, me encantaría que me la comunicara.

Answer 1

Sí, es cierto. De hecho, es parte de la prueba de la unicidad de la descomposición en factores primarios.

Explícitamente, digamos un grupo abeliano $G$ tiene orden $p^n$ . Entonces los elementos de orden que dividen $p^i$ son precisamente los elementos del núcleo del mapa $x\mapsto x^{p^i}$ (utilizando la notación multiplicativa).

Escribe el grupo como producto directo/suma de grupos cíclicos de orden de potencia primo, $$G = C_{p^{a_1}}\times C_{p^{a_2}}\times\cdots\times C_{p^{a_k}}$$ donde $C_m$ es el grupo cíclico de orden $m$ y dejamos que $1\leq a_1\leq\cdots\leq a_k$ .

Entonces $$G^p\cong C_{p^{a_1-1}}\times C_{p^{a_2-2}}\times\cdots\times C_{p^{a_k-1}}.$$ Desde $|G^p| = p^{n-k}$ y $|\mathrm{ker}\phi||G^p| = |G|$ (donde $\phi$ es el mapa que envía $x$ a $x^p$ ), entonces el núcleo tiene orden $p^k$ . El número de elementos de orden que dividen $p$ indica el número de factores cíclicos.

El número de elementos de orden que dividen $p^2$ dividido por el número de elementos de dividir $p$ le dirá el número de ciclos no triviales en la descomposición de $G^2$ que es el número de factores cíclicos de orden al menos $p^2$ .

Del mismo modo, el número de elementos de orden que dividen a $p^r$ dividido por el número de elementos de orden divisor de $p^{r-1}$ le dirá el número de factores cíclicos de orden al menos $p^r$ .

Así, si se conoce el número de elementos de orden $1$ , $p$ , $p^2$ etc., te dice exactamente cuál es la descomposición cíclica de $G$ es. Lo que significa que los números determinan completamente el tipo de isomorfismo de $G$ .