Extraer un subsistema independiente máximo y completarlo con una base en $\mathbb{R}^3$

Question

Tengo $4$ vectores $v_1=(0,-1,2),$ $v_2= (1,0,1),$ $v_3= (-3,-2,1),$ $v_4= (1,-2,5)$ que forman un sistema dependiente y $S=\text{span}\{v_1,v_2,v_3,v_4\}.$ Encontrar un subsistema independiente máximo de $S$ y completar este subsistema a una base en $\mathbb{R}^3$ .

Mi idea es encontrar un subsistema máximo es encontrar $3$ vectores y demostrar que el determinante no es $0.$ Pero, ¿puede $4$ forman una base en $\mathbb{R}^3?$

Answer 1

Tenga en cuenta que $(1,0,1) = (1,-2,5) - 2\cdot(0,-1,2)$ así que $v_2 = v_4-2\cdot v_1.$

Por lo tanto $$\langle v_1,v_2,v_3,v_4 \rangle = \langle v_1,v_3,v_4 \rangle.$$

Pero $(0,-1,2) = \frac{1}{8}((-3,-2,1) + 3\cdot(1,-2,5)),$ así que $v_1 = \frac{1}{8}(v_3 + 3\cdot v_4).$

Por lo tanto

$$\langle v_1,v_3,v_4 \rangle = \langle v_3,v_4 \rangle.$$

Desde $v_3 \neq \lambda \cdot v_4, \forall \lambda \in \mathbb{R},$ concluimos que $A = \{v_3,v_4\}$ es linealmente independiente.

Formar una base de $\mathbb{R}^{3},$ En primer lugar $\dim{\mathbb{R}^3} = 3$ pero $\dim{A} = 2.$

Así que $A$ en sí no constituye una base de $\mathbb{R}^3.$ Pero (por el Teorema de Steinitz) podemos formar una base de $\mathbb{R}^3$ que contiene $A$ añadiendo un vector más.

Pero este vector extra tiene que ser elegido con cuidado, tenga en cuenta que éste, cuando se reúne con $A$ debe "preservar" la independencia lineal de $A.$

Podemos escoger este vector, por ejemplo, de la base estándar de $\mathbb{R}^3,$ que es

$$((1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)).$$

Por ejemplo, $(1,0,0).$ Entonces

$$((-3,-2,1),(1,-2,5),(1,0,0))$$

constituyen la base de $\mathbb{R}^3.$