Secuencia que converge a una raíz cuadrada

Question

Sean dos números cualesquiera $x$ y $y$ donde $x,y \in \mathbb R$ y $y \neq -1$ .

Consideremos una secuencia en la que $$a_1 = \frac{y+x}{y+1}$$ y $$a_{n} = \frac{a_{n-1}+x}{a_{n-1} + 1}.$$

Por ejemplo, cuando $x=5$ y $y=50$ : $$a_1 = \frac{50+5}{50+1} = \frac{55}{51},$$$$ a_{2} = \frac{\frac{55}{51}+5}{\frac{55}{51}+1} = \frac{310}{106}, $$$$a_3 = \frac{\frac{310}{106}+5}{\frac{310}{106}+1} = \frac{840}{416},$$$$ a_4 = \frac{\frac{840}{416}+5}{\frac{840}{416}+1} = \frac{2920}{1256},$$ etc. . El resultado se aproxima muy rápidamente $\sqrt 5$ .

Mi pregunta es: ¿esta secuencia siempre convergen a $\sqrt x$ ?

Answer 1

Escribe la relación de recurrencia como:

$$a_{n}=1+\frac{x-1}{1+a_{n-1}}=1+\cfrac{x-1}{2+\cfrac{x-1}{2+\cfrac{x-1}{1+a_{n-3}}}}$$

Escribiendo la representación "infinita" (formalmente hasta ahora) para el límite tenemos:

$$a_{ \infty} =1+\cfrac{x-1}{2+\cfrac{x-1}{2+\cfrac{x-1}{2+\dots}}}$$

Para $x=2$ que tenemos:

$$a_{ \infty} =1+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{2+\dots}}}=\sqrt{2}$$

Se trata de una fracción continua simple, que se sabe que converge con seguridad si los denominadores parciales $b_k>0$ y su valor no disminuye más rápido que $1/k$ . En este caso son constantes, por lo que converge.

El límite de $\sqrt{2}$ también es bien conocido, y se puede demostrar por el mismo método que wilkersmon sugirió en los comentarios.

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Para una $x>1$ también tenemos:

$$\sqrt{x} =1+\cfrac{x-1}{2+\cfrac{x-1}{2+\cfrac{x-1}{2+\dots}}}$$

La convergencia puede demostrarse transformando la fracción continua en la forma de una fracción continua "simple":

$$\sqrt{x} =1+\cfrac{1}{\frac{2}{x-1}+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{\frac{2}{x-1}\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{\frac{2}{x-1}+\dots}}}}}$$

Dado que los denominadores parciales no disminuyen en promedio, la CF converge.

Para $x < 1$ el caso de la convergencia es un poco más complicado (porque los denominadores parciales se hacen negativos), pero podemos considerar simplemente $1/\sqrt{x}$ en su lugar.

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Esta fracción continua para raíces cuadradas está referenciada en Wikipedia https://en.wikipedia.org/wiki/Continued_fraction .