Me puse a leer este artículo que encontré en internet sobre la ecuación de Kolmogorov al revés http://apghosh.public.iastate.edu/files/EORMS_BFeqnsDiff_Feb1-2010.pdf
He seleccionado aquí los pasajes pertinentes
Me parece que la ecuación
$$u(t+ h,x) = \int P(h,x,dy)u(t,y) $$
está mal,
es decir, si juntamos 12 y 8 del texto ¿no deberíamos obtener $$u(t,x) = \int P(h,x,dy)u(t +h,y) \tag 1$$
o $$u(t- h,x) = \int P(h,x,dy)u(t,y) \tag 2$$
Si procedemos con la expresión de (1) obtenemos que
\begin{align*} \frac{u(t+h, x) - u(t,x)}{h} &= \frac{\int P(h,x,dy)[u(t+h,x)-u(t+h,y)]}{h}\\ & \sim \frac{1}{h} \int P(h,x,dy)\bigg[\frac{\partial u (t+h,x)}{\partial x}(x-y) + \frac{1}{2}\frac{\partial^2 u (t+h,x)}{\partial^2 x}(x-y)^2\bigg]\\ &\xrightarrow[h \to 0]{} -\frac{\partial u (t+h,x)}{\partial x}b(x) + \frac{1}{2}\frac{\partial^2 u (t,x)}{\partial^2 x}\sigma(x)^2 \end{align*} que da $$\partial_t u(t,x) = -\frac{\partial u (t+h,x)}{\partial x}b(x) + \frac{1}{2}\frac{\partial^2 u (t,x)}{\partial^2 x}\sigma(x)^2 $$
mientras que si partiéramos de (2) obtendríamos
\begin{align*} \frac{u(t-h, x) - u(t,x)}{h} &= \frac{\int P(h,x,dy)[u(t,y)-u(t,x)]}{h}\\ & \sim \frac{1}{h} \int P(h,x,dy)\bigg[\frac{\partial u (t,x)}{\partial x}(y-x) + \frac{1}{2}\frac{\partial^2 u (t,x)}{\partial^2 x}(y-x)^2\bigg]\\ &\xrightarrow[h \to 0]{} \frac{\partial u (t,x)}{\partial x}b(x) + \frac{1}{2}\frac{\partial^2 u (t,x)}{\partial^2 x}\sigma(x)^2 \end{align*} que da $$-\partial_t u(t,x) = \frac{\partial u (t+h,x)}{\partial x}b(x) + \frac{1}{2}\frac{\partial^2 u (t,x)}{\partial^2 x}\sigma(x)^2 $$ O más concisamente
$$ \partial_t u(t,x) + A u(t,x) = 0 $$
Por tanto, las preguntas son
1) ¿hay realmente una errata en el texto?
2) si es así, ¿por qué esos razonamientos diferentes dan resultados diferentes, no deberían ser los mismos?
