Convergencia de $\sum_{n=0}^{\infty}ne^{-\beta n}$

Question

Estoy trabajando en un problema de mecánica estadística y una función de partición que he encontrado es de la forma: $$ Z = \sum_{n=0}^{\infty}(n+1)e^{-\beta n} $$ He utilizado la prueba de la relación y la serie converge. Quiero encontrar una forma cerrada para esto. Lo he intentado: $$ \sum_{n=0}^{\infty}(n+1)e^{-\beta n} = \sum_{n=0}^{\infty}ne^{-\beta n} + \sum_{n=0}^{\infty}e^{-\beta n} $$ El segundo término del lado derecho es simplemente $1/(1-e^{\beta})$ (serie geométrica). Así que la pregunta se reduce a: ¿tiene esta serie una forma cerrada? $$ \sum_{n=0}^{\infty}ne^{-\beta n} $$ donde $\beta>0$

Answer 1

Sugerencia

Sí. Denote $f(\beta)$ la serie geométrica $$f(\beta)=\sum_{n=0}^\infty e^{-\beta n}$$ qué es $f'(\beta)$ ? ¿Puedes seguir desde aquí?

Answer 2

Recuerda las expresiones

$$ \frac{x}{1+x}= \sum_{n=1}^{\infty}x^{n} $$

$$ \frac{1}{1+x}= \sum_{n=0}^{\infty}x^{n} $$