Gráfica de una función continua $f:\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m$ está cerrado

Question

Considere $f: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m$ . Demostrar que si $f$ es continua, entonces la gráfica de $f$ es un subconjunto cerrado de $\mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^m = \mathbb{R}^{n+m}$

¿alguna idea de cómo comenzar este problema?

Answer 1

Toma $(x_n,f(x_n))\in G(f)$ ya que $(x_k,f(x_k))\to (x,y)$ . Así que tienes $x_k\to x$ en $\mathbb{R}^n$ y por continuidad de $f$ tienes $y=\lim_kf(x_k)=f(x)$ . Por lo tanto $(x,y)=(x,f(x))\in G(f)$ .

Answer 2

Considere las proyecciones $\pi_1$ y $\pi_2$ .

El gráfico de $f$ es

$$(\pi_2-f\circ \pi_1)^{-1}(0),$$

por lo tanto, cerrado.