Supongamos que $M$ es una variedad con una métrica $g$ y tres campos vectoriales de Killing independientes (independientes en el sentido de los campos vectoriales de Killing) $K_1,K_2,K_3$ se dan con relaciones de conmutación $$ [K_i,K_j]=\sum_k\epsilon_{ijk}K_k. $$ Aquí $\epsilon_{ijk}$ es el símbolo estándar (algebraico) de Levi-Civita. Esta configuración es estándar cuando se da la simetría esférica. Por lo general, cuando se dan los espaciotiempos esféricos, se hacen suposiciones adicionales.
Estoy tratando de ver si esos supuestos adicionales son necesarios. En particular, ¿implica esta configuración que las órbitas del grupo de isometrías generado por el $K_i$ es bidimensional ?
Intenté demostrar por contradicción y supuse que el $K_i$ son independientes puntualmente. Entonces por el teorema de Frobenius, $M$ está foliado (al menos localmente) por superficies tridimensionales a las que el $K_i$ son tangentes, y las $K_i$ forman entonces un marco, y son también campos de Killing de la métrica inducida. Intenté utilizar el hecho de que 1) la $K_i$ es un marco, 2) el $K_i$ son Killing, 3) el $K_i$ satisfacen la relación de conmutación anterior para llegar a una contradicción. Si se hubiera obtenido tal contradicción, entonces se habría seguido que el $K_i$ no pueden ser independientes puntualmente, por lo que la distribución generada por ellos sería bidimensional o unidimensional, pero una variedad unidimensional no puede acomodar tres campos de Killing independientes, por lo que entonces la distribución es bidimensional. Por desgracia, no he podido demostrarlo.
Entonces, ¿implica la configuración anterior que la distribución generada por el $K_i$ es bidimensional? En caso afirmativo, ¿cómo? Las referencias también son bienvenidas si no es una prueba directa.
