Las coordenadas generalizadas deben relacionarse con las coordenadas base de la siguiente manera: el mapa debe ser invertible. Preferiblemente, esto significa un biyección es decir, cada punto del sistema de coordenadas original corresponde exactamente a un punto del nuevo sistema, y viceversa, pero basta con que sea uno a uno en los subconjuntos pertinentes de ambos. El mapa también tiene que ser diferenciable ("suave"), hasta cierto nivel que depende del Lagrangiano.
Ya está. Si satisfaces la invertibilidad y la suavidad, todo vale.
Manejar las fuerzas externas cuando se cambia de sistema de coordenadas es un asunto ligeramente distinto. El problema con el que te encuentras es que tienes que añadir el término de fuerza externa al Lagrangiano antes de haces el cambio de coordenadas. Entonces tu Lagrangiano se ve así: \begin{align} L &= L_{\mathrm{free}} - \theta_2 \tau_2(t) \end{align} (compruebe el signo del $\theta_2 \tau_2$ término).
Ahora, cuando cambias las coordenadas obtienes: \begin{align} L &= L_{\mathrm{free}} - (q_2 - q_1) \tau_2(t), \end{align} y todo sigue como antes.
Esto me parece extraño porque ahora dice que $-\tau_2$ se aplica a la primera coordenada $\theta_1$ aunque el par externo sólo esté en $\theta_2$ .
Eso es porque estás intentando pensar con una inversión parcial del sistema de coordenadas. $q_1$ no es equivalente a $\theta_1$ por sí mismo. Tienes que tener en cuenta el contexto de ambos: a, el resto de la transformación, y b, el resto del Lagrangiano.
La transformación inversa es: \begin{align} \left[\begin{array}{c} \theta_1 \\ \theta_2\end{array} \right] & = \left[ \begin{array}{c} q_1 \\ q_2 - q_1\end{array} \right]. \end{align} Observe que $q_1$ alimenta a ambos thetas.
A continuación, examina tus ecuaciones de movimiento. No voy a hacer la derivación para usted, pero me sorprendería saber que usted termina con limpia por separado $\ddot{q}_i = \ldots$ .
Edición: después de pensar un poco más, Tengo una explicación intuitiva. $q_1$ y $\theta_1$ son numéricamente iguales, pero significan cosas diferentes. En el $\theta$ los ángulos describen la posición de los brazos independientemente con respecto a alguna dirección estándar externa, y así describen el movimiento de los dos cuerpos independientemente (específicamente, la energía cinética-su acoplamiento es puramente en el término potencial). En el sistema $q$ sistema, $q_1$ describe la posición del péndulo doble utilizando el primer brazo como si todo el péndulo doble fuera rígido, y $q_2$ define el ángulo que forma el brazo exterior del péndulo con respecto al brazo interior. Puesto que eso te da una referencia móvil para $q_2$ acopla los términos cinéticos (es decir, si su energía cinética inicial era $T=\frac{m_1}{2}\dot{\theta}_1^2 + \frac{m_2}{2}\dot{\theta}_2^2$ tu nuevo es $T=\frac{m_1}{2}\dot{q}_1^2 + \frac{m_2}{2}\left(\dot{q}_2 - \dot{q}_1\right)^2$ ). Además, puesto que $q_1$ cubre todo el péndulo, el par externo también actúa sobre él.
¿Por qué es importante la invertibilidad? El mapa entre sus coordenadas debe ser invertible por dos razones. En primer lugar, una vez que hayas resuelto la dinámica en el nuevo sistema de coordenadas, es posible que desees volver a traducirlo al antiguo.
Segundo, pasan cosas malas en las matemáticas si el sistema se encuentra con un punto en el que no son invertibles. Consideremos la masa puntual que experimenta un movimiento uniforme en el $x$ -eje. El movimiento es agradable y sencillo: $x=vt$ y $y=0$ . Ahora, cambia a coordenadas polares. Obtendrás $r = |vt|$ y $\theta=-\pi\Theta(-vt)$ con $\Theta(a) \equiv 0$ si $a < 0$ y $1$ si $a > 0$ . Obsérvese cómo ocurre algo violento en las coordenadas en el origen, precisamente donde el mapa de $(r,\theta)$ a $(x,y)$ se convierte en muchos a 1 (es decir, en $r=0$ estás en el origen, no importa qué $\theta$ es).
Nota al margen: la transformación polar-euclídea es un ejemplo de transformación de coordenadas que no es una biyección. Un número infinito de $\theta$ se asignan a valores $(x,y)$ pares. Esto puede causar problemas de interpretabilidad si se olvida el hecho, pero no causa ningún problema matemático que se me ocurra en este momento.
Resolver las ecuaciones diferenciales en presencia de un problema puntual en las coordenadas es posible, sólo requiere herramientas más avanzadas. Es mejor asegurarse de que los problemas puntuales son irrelevantes, si es posible. Para un ejemplo de un problema de este tipo en el mundo real con un ordenador mecánico, véase el fenómeno de bloqueo del cardán .
¿Por qué es importante la suavidad? Esta es más fácil de explicar. Todo se reduce a dos palabras: regla de la cadena. En primer lugar, tu Lagrangiano va a tener unos términos cinéticos expresados en el sistema de coordenadas original. Para encontrar tus nuevos términos cinéticos, necesitas aplicar la regla de la cadena a la transformación. Es decir, si \begin{align} x_i & = f_i (q_1...) \Rightarrow \\ \dot{x}_i & = \sum_{j} \frac{\partial f}{\partial q_j} \dot{q}_j. \end{align}
La segunda razón para desear la diferenciabilidad de la transformación es técnica: hace que demostrar que las ecuaciones de Euler-Lagrange son equivalentes sea más sencillo (de nuevo, utilizando la regla de la cadena).
Cuando se tiene tanto la interpretabilidad como la suavidad es suficiente para demostrar que las ecuaciones de movimiento de Euler-Lagrange obtenidas son equivalentes utilizando la regla de la cadena.
