Aunque ya hay una buena respuesta aceptada, me gustaría decir algo más para arreglar completamente algunos detalles.
¿Es correcta esta definición también para los operadores no limitados?
No, no funciona esencialmente porque se utiliza una noción errónea de convergencia.
Sin embargo, es posible demostrar que, si $A$ - con dominio denso $D(A)$ - es cerrado y normal (*) - que incluye el caso autoadjunto y el unitario - entonces existe un subespacio denso $D_A\subset D(A)$ de vectores, denominado vectores analíticos donde la fórmula sigue siendo válida con los cambios cruciales que
-
(a) los operadores deben aplicarse a estos vectores, y
-
(b) el topología del espacio de Hilbert (la serie es ahora de vectores en lugar de operadores ), $$e^{tA}\psi = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{t^n}{n!}A^n \psi\:, \quad \forall \psi \in D_A .$$
(El parámetro $t\in \mathbb{C}$ puede tomarse en una vecindad suficientemente pequeña de $0$ independientemente de $\psi\in D_A$ .)
Subrayo que la serie es no el definición de la exponencial, la identidad anterior es una identidad de dos objetos matemáticos definidos independientemente.
Sin embargo esa serie se puede utilizar para definir de forma equivalente la exponencial en dicho dominio y esta definición coincide con la definición de operadores no limitados que figura a continuación.
En caso negativo, ¿cuál es la definición correcta?
Si $A: D(A) \to H$ , densamente definida, es cerrada y normal, entonces admite una medida espectral $P: B(\mathbb{C}) \to B(H)$ donde $B(\mathbb{C})\ni E$ es el Borel $\sigma$ -álgebra en $\mathbb{C}$ y cada $P(E)$ es un proyector ortogonal en $H$ .
Finalmente podemos definir (en un dominio convenientemente denso definido a continuación) $$f(A) := \int_{\mathbb{C}} f(\lambda) dP(\lambda)\tag{1}$$ para cada Función medible por el taladro $f: \mathbb{C}\to \mathbb{C}$ .
El exponencial de dicho $A$ se define de este modo simplemente sustituyendo $f$ para el mapa exponencial.
Si $A$ es autoadjunto , $B(\mathbb{C})$ se puede compensar con $B(\mathbb{R})$ ya que fuera $\mathbb{C}$ la medida espectral desaparece.
En realidad, el soporte de la medida espectral de $A$ (densamente definida, cerrada y normal) siempre coincide con la espectro $\sigma(A)$ de $A$ .
¿Qué propiedades tiene $\hat A$ para tener una exponencial bien definida?
Tenemos dos casos que en realidad coinciden en los que ambas definiciones son adecuadas.
-
(a) Si $A$ está definida y acotada en todas partes, la exponencial está automáticamente bien definida por su expansión en serie - con respecto a la norma del operador - y esta expansión puede utilizarse como la propia definición.
-
(b) Si $A$ es no en cualquier lugar definido / acotado, se aplica la definición anterior (1) basada en el cálculo funcional de Borel cuando $A$ está densamente definida, es normal y cerrada, en particular autoadjunta.
Esta última definición, (b), coincide con la primera, (a), cuando $A$ está definida, acotada y es normal en todas partes, por ejemplo si $A$ es unitario .
Sin embargo, como se ha declarado al principio, la expansión en serie es válida para operadores normales, cerrados, densamente definidos, que trabajan sobre vectores analíticos y utilizan la norma de $H$ (técnicamente el topología de operador fuerte ).
Por lo que yo sé, éstos (densamente definidos, cerrados, normales) son los requisitos mínimos que producen una teoría consistente para los operadores no limitados.
Si $\hat A$ se define en $D(\hat A)$ cuál es el dominio de $\mathrm{e}^{\hat A}$ ?
El dominio de $f(A)$ como en (1) es
$$D(f(A)) = \left\{\psi \in H \:\left|\: \int_{\mathbb{c}} |f(x)|^2 d \mu^A_\psi(x)< +\infty \right.\right\}\tag{2}$$ donde $$\mu^A_\psi(E) := \langle \psi |P(E) \psi\rangle$$ es una medida de Borel finita positiva estándar.
Si $A$ es independiente $\mu^A_\psi$ es compatible con $\mathbb{R}$ en realidad en $\sigma(A)$ . Allí, $f(x) = \exp x$ no está acotado (a menos que $\sigma(A)$ está acotada, lo que significa que $A$ está acotada), de modo que $D(f(A)) \subsetneq H$ .
Sin embargo, si en su lugar considera $f(x)= \exp ix$ y $A$ es autoadjunta, entonces $f$ está limitada por $1$ en $\mathbb{R}$ . Desde $\mu^A_f(\mathbb{R}) = ||\psi||^2 < +\infty$ resulta de (2) que $$D(f(A)) = H\:.$$
Si $E \subset \mathbb C$ es un conjunto de Borel y $\chi_E(x)=1$ para $x\in E$ y $\chi_E(x)=0$ en caso contrario $$P_E := \int_{\mathbb C} \chi_E(x) dP^{(A)}(x)$$ es un proyector ortogonal sobre un subespacio cerrado $H_E$ .
Una familia de vectores analíticos $\psi$ satisfaciendo así $$e^{tA}\psi = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{t^n}{n!}A^n \psi$$ cuyo span (finito) es denso se obtiene como sigue. Tomemos una clase de conjuntos de Borel $E_N\subset \mathbb C$ donde $N\in \mathbb N$ exigiendo que cada $E_N$ está acotado y $\cup_N E_N = \mathbb C$ . Dicha familia de vectores analíticos está formada por todos los vectores $\psi \in H_{E_N}$ para cada $N \in \mathbb N$ .
Como observación final, subrayo que casi todos los operadores con cierta relevancia en QM están densamente definidos y cerrados.
(*) $A: D(A) \to H$ es cerrado si el conjunto de pares $(\psi, A\psi)$ con $\psi \in D(A)$ es un conjunto cerrado en $H \times H$ .
$A: D(A) \to H$ densamente definido y cerrado es normal si $A^\dagger A= A A^\dagger$ en los dominios naturales de ambos lados que deben coincidir.
