Demostrar algunos hechos sobre el espacio de funciones continuas en el intervalo $[0,1]$

Question

Quiero demostrar lo siguiente:

Sea la secuencia de funciones en $C([0,1])$ dada por $$\displaystyle f_n(x) = \begin{cases}\sqrt n & 0\le x<\dfrac{1}{n}\\\dfrac{1}{\sqrt x} & \dfrac{1}{n}\le x\le 1.\end{cases}$$ Entonces $f_n$ es una sucesión de Cauchy en $(C([0,1]),||\cdot||_1)$ que no converge. Por lo tanto, $(C([0,1]),||\cdot||_1)$ no está completa.

Así que para demostrar que es Cauchy hice lo siguiente:

$$\int_{0}^{1}|f_{n}(x)-f_{m}(x)|dx \leq \int_{0}^{1}|f_n(x)|+\int_{0}^{1}|f_m(x)|=\int_{0}^{1/n}|\sqrt(n)|+\int_{1/n}^{1}|1/ \sqrt(x)|+\int_{0}^{1/m}|\sqrt(m)|+\int_{1/m}^{1}|1/ \sqrt(x)|=1/\sqrt(n)+1/\sqrt(m)+(2-2/\sqrt(n))+(2-1/\sqrt(m))=4-(1/\sqrt(n)+1/\sqrt(m))$$

Así que la cosa es, creo que hay algo mal aquí ya que no puedo atar $1/\sqrt(n)+1/\sqrt(m)$ ya que ambos $n,m$ llega a cero, y la norma podría ser negativa ya que $1/\sqrt(n)+1/\sqrt(m)$ podría ser mayor que 4.

Ahora otra cosa, ¿Cómo puedo demostrar que no es convergente?.

Y por último, estaba tratando de averiguar si $(C([0,1]),||\cdot||_2)$ ¿Está completo? pero la cosa es que probarlo debería ser peor que reordenar la función anterior para dar un contraejemplo, pero ¿Estoy en lo cierto?.

¿Puede alguien ayudar con estas preguntas, por favor?

Answer 1

Para simplificar, dejemos que $n \wedge m := \min \{n,m\}$ y que $n \vee m := \max \{ n,m \}$ para todos los números enteros $n,m \geq 1$ .

Podemos hacerlo suavemente. Tenga en cuenta que $$ \int_{0}^{1} |f_{n} - f_{m}| = \int_{0}^{\frac{1}{n \vee m}} | \sqrt{n} - \sqrt{m}| dx + \int_{\frac{1}{n \vee m}}^{\frac{1}{n \wedge m}} | \frac{1}{\sqrt{x}} - \sqrt{n \wedge m} | dx \leq \frac{\sqrt{n}}{n \vee m} + \frac{\sqrt{m}}{n \vee m} + 2\frac{1}{n \wedge m} + 2\frac{1}{n \vee m} + \frac{\sqrt{n \wedge m}}{n \wedge m} + \frac{\sqrt{n \wedge m}}{n \vee m} \to 0 $$ como $m,n$ crece.

Answer 2

Sea $\varepsilon > 0$ y elija $N >\frac{1}{\varepsilon^2}$ . Entonces para $n > m > N$ tenemos \begin{align*} \int_0^1 |f_n(x) - f_m(x)| \, \mathrm{d}x &= \int_0^1 f_n(x) - f_m(x) \, \mathrm{d}x \\ &= \int_0^1 f_n(x) \, \mathrm{d}x - \int_0^1 f_m(x) \, \mathrm{d}x \\ &= \left(\int_0^{1/n} \sqrt{n} \, \mathrm{d}x + \int_{1/n}^1 \frac{1}{\sqrt{x}} \, \mathrm{d}x\right) - \left(\int_0^{1/n} \sqrt{n} \, \mathrm{d}x + \int_{1/n}^1 \frac{1}{\sqrt{x}} \, \mathrm{d}x \right) \\ &= \left(\frac{\sqrt{n}}{n} + 2 - \frac{2}{\sqrt{n}} \right) - \left (\frac{\sqrt{m}}{m} + 2 - \frac{2}{\sqrt{m}} \right ) \\ &= \frac{1}{\sqrt n} - \frac{2}{\sqrt{n}} - \frac{1}{\sqrt m} + \frac{2}{\sqrt{m}} \\ &= \frac{1}{\sqrt m} - \frac{1}{\sqrt n} \\ &< \frac{1}{\sqrt m} < \varepsilon, \end{align*} mostrando que la secuencia es Cauchy con respecto a. $||\cdot||_1.$ Supongamos $f_n$ tiene límite $f \in C([0,1])$ . Entonces $f(x) = \frac{1}{\sqrt x}$ en $(0,1)$ que no puede extenderse de forma continua sobre $[0,1]$ . Por tanto, el espacio está incompleto.