Secuencia de funciones diferenciables

Question

Sea $f_n$ sea una sucesión de funciones diferentaibles sobre $[0,1]$ a $\mathbb{R}$ que converge uniformemente a una función $f$ en $[0,1]$ Entonces

1. $f$ es diferenciable e integrable de Riemann allí

2. $f$ es uniformemente continua y R-integrable

3. $f$ es continua, no es necesario que sea diferenciable en $(0,1)$ y no tiene por qué ser R-integrable en $ [0,1]$ ,

4. $f$ no tiene por qué ser continua.

Bueno, creo que la 2 es la única afirmación correcta, ya que cada $f_n$ son diferenciables en $[0,1]$ por lo tanto uniformemente contnuos, y como convergen uniformemente a $f$ en $[0,1]$ así que $f$ es uniformemente continua y toda función continua es integrable por Riman. ¿Estoy en lo cierto?

Answer 1

Un contraejemplo sencillo a 1 es la secuencia $f_n(x)=\sqrt{(x-1/2)^2+1/n}$ que converge uniformemente a la función no diferenciable $f(x)=|x-1/2|$ .

2 es correcto: la convergencia uniforme preserva la continuidad uniforme, y la continuidad uniforme implica la integrabilidad de Riemann. De ello se deduce que 3 y 4 son falsas.