Muy buena pregunta La cuestión es que cuando el ascensor comienza a moverse (ya sea hacia arriba o hacia abajo), es acelerando mientras que el dron, al no tener ninguna fuerza que actúe directamente sobre él, sigue moviéndose a velocidad constante.
Imagina que tienes un dron en un coche o un avión en movimiento y que "planea" a tu lado. Esto significa que su velocidad con respecto a ti (y al coche o avión) es cero. Si el coche se mueve a velocidad constante, el dron seguirá donde está, ya que no actúa sobre él ninguna fuerza externa.
En cambio, en el ascensor, el dron está en reposo con respecto al "edificio". Pero cuando el ascensor "arranca", comienza a acelerar. El hecho de que el ascensor haya cambiado de velocidad no llega al dron, ya que no está en contacto con el ascensor como nosotros. Como resultado, el dron continúa en reposo con respecto al edificio mientras la parte superior del ascensor acelera hacia el dron, golpeándolo. Algo similar ocurre cuando se parte de la planta baja y se intenta subir. De nuevo el dron está en reposo con respecto a la planta baja, pero cuando el ascensor empieza a acelerar hacia arriba, la parte inferior del ascensor embiste a la parte inferior del dron.
No tengo un dron para probar esto, pero supongo que en un vehículo en movimiento pasaría algo parecido si el vehículo acelerara (o girara) de repente. Es muy similar a la sensación que se experimenta cuando un coche acelera de repente: retrocedes de golpe porque parte de tu cuerpo aún no ha recibido la información de que la velocidad del vehículo ha cambiado.
Si tuviera un dron (y un elevador lo suficientemente largo), intentaría demostrar que una vez que el elevador empieza a moverse a velocidad constante (lo que ocurre después de la sacudida inicial) podría controlar el movimiento del dron sin problemas.