Prueba de coherencia filosófica para la teoría de conjuntos

Question

En su conferencia ASL Gödel (Las Vegas, Nevada, 2002), Harvey Friedman planteó la siguiente pregunta:

¿Existen principios fundamentales de carácter filosófico general que puedan utilizarse para dar pruebas de consistencia de la teoría de conjuntos, incluidos los llamados axiomas cardinales grandes?

Recientemente, es capaz de aislar los dos principios filosóficos fundamentales siguientes y utilizarlos para demostrar la interpretabilidad de varios pensamientos de sentido común y de la teoría de conjuntos (con cardinales grandes).

(i) Principio de Plenitud (PP): Todo lo que pueda suceder, sucederá.

(ii) Principio de Indiscernibilidad (PI): Dos horizontes cualesquiera son indiscernibles para los observadores en función de su extensión.

(Véase, por ejemplo, su artículo Concept Calculus. texto del enlace )

Mis principales preguntas son: ¿Hasta qué punto estamos seguros de que PP e IP son "verdaderos"? Más concretamente, ¿es posible "demostrar" o justificar PP e IP de forma rigurosa? En caso afirmativo, ¿cómo? En caso negativo, ¿por qué no?

En mi opinión, la justificación última de PP e IP sería construir un (meta) sistema S basado en PP e IP, y luego demostrar su consistencia y completitud. A la luz del teorema de incompletitud de Gödel, no estoy seguro de que esto pueda hacerse. Pero quizás S no sea axiomatizable recursivamente, y entonces el teorema de incompletitud de Gödel no se aplicaría a S.

Mi pregunta secundaria es: ¿hay algún lógico (aparte de Friedman) que esté trabajando en este tipo de investigación?

Actualización: julio de 2011

Timothy Chow ha reformulado la pregunta para acercarla más a la lógica matemática:

¿Existe algún enunciado matemático preciso, que tenga el sabor de IP o PP, que demuestre la consistencia de todos (o la mayoría de) los axiomas teóricos de conjuntos generalmente aceptados hoy en día (por ejemplo, los axiomas cardinales grandes)?

Actualización: Ahora se ha reabierto la cuestión. Ha llegado el momento de que la respondan personas que se sientan identificadas con el problema.

Answer 1

En un informe más reciente papel de Friedman

Friedman, Harvey M. Cálculo de conceptos: mucho mejor que, Heller, Michael (ed.) y otros, Infinito. Nuevas fronteras de la investigación. Basado en la conferencia sobre nuevas fronteras en la investigación sobre el infinito, San Marino, 18-20 de agosto de 2006. Cambridge: Cambridge University Press (ISBN 978-1-107-00387-3/hbk). 130-164 (2011). ZBL1269.03008 ,

el autor define un sistema matemáticamente preciso MBT (mucho mejor que) y demuestra que éste y ZF tienen interpretabilidad mutua. Esto establece que si cualquiera de los dos es consistente, ambos lo son. Estos axiomas tienen algo del sabor de IP y PP, pero por supuesto estos axiomas no están implícitos en IP y PP.

Al final del artículo, Friedman afirma que el resultado está pendiente de publicación. STAR se define como:

Existe una estrella. Es decir, algo que es mejor que algo, y mucho mejor que todo lo que es mejor que.

Hemos demostrado que MBT + STAR puede interpretarse en algunos cardinales grandes compatibles con V = L, y algunos cardinales grandes compatibles con V = L son interpretables en MBT + STAR."

Para que PP e IP sean verdaderos, en un sentido que pueda demostrar las matemáticas, necesitan ser enunciados precisamente como los axiomas en MBT. Esa formulación es mucho más compleja que PP e IP como debe ser para interpretar ZF.

Es importante tener en cuenta que coherencia no implica verdad. La afirmación de que un sistema formal es coherente es equivalente a una afirmación de la forma $\forall_{n\in\omega} r(n)$ donde $r$ es una relación recursiva. Esto es equivalente al problema de detención de una máquina de Turing.

La siguiente cita de Friedman es, sospecho, gran parte de su interés y el de otros en este trabajo:

OBSERVACIÓN SORPRENDENTE. Cualesquiera dos teorías naturales S,T, que se sabe que interpretan PA, se sabe (con un pequeño número de excepciones) que: S es interpretable en T o T es interpretable en S. Se cree que las excepciones también tienen comparabilidad.

Es una observación interesante e incluso sorprendente, pero conviene tener en cuenta que las teorías rigurosas son, entre otras cosas, procesos recursivos de enumeración de teoremas. Decir que una teoría es interpretable en otra es decir que un subconjunto de salidas de un proceso son, en un sentido específico bien definido, isomorfas a las salidas del proceso definido a partir de la teoría que se interpreta. Independientemente del significado que pueda tener, se trata de una afirmación sobre procesos recursivos ilimitados.

Mi opinión personal (véase ¿De qué tratan las matemáticas?) es que la única matemática que puede interpretarse como propiedades de los procesos recursivos es objetivamente verdadera o falsa. Esto se basa en la vieja idea de que el infinito es un potencial que nunca puede realizarse. Desde este punto de vista, la prueba de Cantor de que los reales no son contables es un teorema de incompletitud. La jerarquía cardinal es una jerarquía de las formas en que los números reales demostrablemente definibles en un sistema formal siempre pueden expandirse. Gracias al teorema de Lowheheim Skolem, sabemos que existe tal interpretación. Las interpretaciones que asumen lo absolutamente incontable son inevitablemente ambiguas, al menos en la medida en que pueden expresarse formalmente en el universo siempre finito que parecemos habitar.