Para lo cual $c$ es $\mathbb{Z}[\sqrt{c}]$ ¿un dominio de factorización única? ¿un dominio euclidiano?

Question

Sea $c$ sea un número entero, no necesariamente positivo y $|c|$ no un cuadrado. Sea $\mathbb{Z}[\sqrt{c}]$ sea el conjunto de los números complejos $$a+b\sqrt{c}, \quad a, b\in \mathbb{Z},$$ que forman un subring del anillo $\mathbb{C}$ bajo las sumas y multiplicaciones habituales.

¿Están completamente resueltas las siguientes preguntas?

1. ¿Para qué? $c$ es $\mathbb{Z}[\sqrt{c}]$ un dominio euclidiano?

2. ¿Para qué? $c$ es $\mathbb{Z}[\sqrt{c}]$ un UFD (unique factorization domain) pero no euclidiano ?

3. ¿Para qué? $c$ es $\mathbb{Z}[\sqrt{c}]$ ¿No es un UFD?

Sé que para $c=-1$ la pregunta 1 tiene una respuesta positiva; para $c=-5$ La pregunta 3 tiene una respuesta positiva.

Answer 1

Un orden cuadrático tiene factorización única (o es euclídeo) sólo si es el orden máximo de un campo numérico (debe ser integralmente cerrado); para tus ejemplos, esto se cumple si y sólo si $c$ es un entero cuadrado congruente con $2$ o $3$ modulo $4$ .

1. Se sabe, como han señalado otros, qué campos cuadráticos son euclidianos con respecto al valor absoluto de la norma. En el caso cuadrático complejo, todo anillo euclídeo es norma-euclídeo (Motzkin); en el caso cuadrático real, hay ejemplos (de alumnos de Murty, a saber, Clark y Harper) de anillos euclídeos que no son norma-euclídeos.

2. Por un resultado de Weinberger, todo campo cuadrático real con factorización única es euclídeo asumiendo la hipótesis de Riemann generalizada.

3. El anillo de enteros en un campo numérico cuadrático no es un UFD si su número de clase no es trivial; es fácil construir ejemplos haciendo que $c$ un producto de al menos tres primos. Se cree, pero no se sabe, que infinitos anillos de números cuadráticos tienen número de clase $1$ .

Véase Simachew o mi propio encuesta por referencias.

Answer 2

Para la pregunta nº 1, véase esta secuencia, que contiene todos los valores $c$ tal que $\mathbb{Z}[\sqrt{c}]$ es euclidiano: http://oeis.org/A048981

Tenga en cuenta que estos son los sólo tales campos cuadráticos que son euclidianos.

En el caso de la pregunta nº 3, no está completamente resuelta ya que no se sabe qué valores de $c>0$ producen un único dominio de factorización. Sin embargo, el problema se resuelve para $c<0$ completamente a través del teorema de Stark-Heegner. El problema en general se remonta a Gauss, y se conoce como el problema del número de clase . Wikipedia tiene buena información.

Utilizando las respuestas a estas preguntas, podemos responder a la #2, ya que sólo hay un número finito de campos cuadráticos euclidianos.

Answer 3

Esto es más un comentario a la pregunta (que no puedo hacer).

Tal como está escrito (¿intencionadamente?) [AÑADIDO: Aparentemente, era intencionado.] los anillos especificados no son siempre el anillo (completo) de enteros algebraicos del campo $\mathbb{Q}(\sqrt{c})$ (véase, por ejemplo https://en.wikipedia.org/wiki/Quadratic_integer para más detalles).

En estos casos los anillos en cuestión no son integralmente cerrados y por tanto no son UFDs, incluso si el número de clase del campo es uno y por tanto el anillo (completo) de enteros algebraicos sería un UFD (ver, por ejemplo, https://en.wikipedia.org/wiki/Class_number_problem ).

Posiblemente, también haya que tener esto en cuenta al utilizar la lista, mencionada en otra respuesta, en la que los anillos son euclidianos.

AÑADIDO: Respuesta de Franz Lemmermeyer es bastante más completa que esta observación.

Answer 4

La pregunta 1 es ligeramente ambigua. ¿Significa "euclidiano" euclidiano con respecto a la norma obvia, o significa euclidiano con respecto a algunos ¿Norma?

Por ejemplo, Z[ $\sqrt{14}$ ] no es euclidiana respecto a la norma habitual, pero no estoy seguro de que se sepa si hay alguna otra norma que la haga euclidiana.