Sea $x_1,x_2,…,x_n$ sean variables aleatorias gaussianas de media cero con matriz de covarianza $\Sigma=(\sigma_{ij})_{1\leq i,j\leq n}$ .
Sea $m$ sea el máximo de las variables aleatorias $x_{i}$ $$ m=\max\{x_i:i=1,2,\ldots,n\} $$
¿Qué se puede decir de $m$ ? ¿Podemos al menos calcular su media y su varianza?
Más concretamente el problema que me interesa es el siguiente. Consideremos una matriz triangular de variables aleatorias donde la $n$ -la fila tiene el aspecto siguiente $$ x_{1}^{(n)},x_{2}^{(n)},\ldots,x_{n}^{(n)} $$ y todas las variables aleatorias son de media cero y gaussianas. Además, $$ \mathbb{Var}(x_{i}^{(n)})=1 \quad \text{for all $ 1\leq i\leq n $} $$ y $$ \mathbb{Var}(x_{i}^{(n)}x_{j}^{(n)})=\sigma_{ij}(n)\to 0\quad \text{as $ n $ increases for $ i\neq j $.} $$
¿Hay algo que se pueda decir sobre el comportamiento de $m$ ¿asintóticamente?
Gracias.
