Matriz de una representación dada una descomposición

Question

Estoy haciendo un curso sobre representaciones de grupo y hoy he visto esto:

Si $T : V \rightarrow V$ es una transformación lineal y $B$ i para $V$ utilizaremos $[T]_B$ para denotar la matriz de $T$ i la base $B$ . Sea $\phi : G \rightarrow GL(V)$ b descomponible, por ejemplo con $V = V_1 \oplus V_2$ donde $V_1$ y $V_2$ son subespacios G-invariantes no triviales. Sea $\phi_i = \phi_{| V_i}$ . Elegir bases $B_1$ y $B_2$ para $V_1$ y $V_2$ respectivamente. Entonces se deduce de la definición de suma directa que $B$ = $B_1 \cup B_2$ es una base para $V$ . Desde $V_i$ es $G$ -invariante, tenemos $\phi(g)(B_i) \subseteq V_i = \mathbb{C} B_i$ . Así pues, tenemos en forma de matriz forma $$ [\phi(g)]_B = \begin{bmatrix} [\phi_1(g)]_{B_1} & 0 \\ 0 & [\phi_2(g)]_{B_2} \end{bmatrix} $$

Pero, ¿por qué la matriz tiene esta forma? ¿Puede alguien dar una detallado ¿Explicación? (Sé que se trata de álgebra lineal). Gracias de antemano.

Answer 1

En primer lugar, supongo que se refiere a que $\phi_i(g) = \phi(g)\lvert_{V_i}$

Digamos que $B_1 = \{e_1, \dots, e_n\}$ y $B_2 = \{f_1, \dots, f_m\}$ . Entonces, como usted señala, $B = B_1 \cup B_2$ . Con respecto a esta base se quiere escribir la matriz para $\phi(g)$ . La forma en que (por definición) hacer esto es:

• La primera columna de la matriz es el vector (vertical) que se obtiene hallando $\phi(g)e_1 = \phi_1(g)e_1$
• La segunda columna de la matriz es el vector (vertical) que se obtiene hallando $\phi(g)e_2 = \phi_1(g)e_2$
• Y así sucesivamente
• La última columna de la matriz es el vector (vertical) que se obtiene hallando $\phi(g)f_m = \phi_2(g)f_m$

Ahora usted ha notado que $\phi(g)B_1 \subseteq \mathbb{C}B_1$ lo que significa que los vectores de la primera $n$ las columnas sólo tienen algo distinto de cero en la primera $n$ entradas (filas). Es decir $\phi(g)e_i \subseteq \mathbb{C}B_1$ .

Igualmente $\phi(g)B_2\subseteq \mathbb{C}B_2$ por lo que los vectores del último $m$ columnas de la matriz sólo tendrán algo distinto de cero en el último $m$ entradas (filas).