¿La función $f(x)=\frac{1}{x}$ tienen una función inversa?

Question

Por lo que tengo entendido, una función tiene una inversa si y sólo si dicha función es una biyección.

Por tanto, si consideramos $f(x)=\frac{1}{x}$ es evidente que $f$ no es una biyección, ya que $f$ no es suryectiva (porque su codominio es $\mathbb{R}$ que no es igual a su rango $\mathbb{R}$\{$0$ } ).

Sin embargo, mirando este sitio web aquí ( https://www.mechamath.com/algebra/how-to-know-if-a-function-has-an-inverse/ ) menciona que se puede hacer una "prueba de la línea horizontal" para determinar si una función tiene una inversa - es decir, si se puede trazar una línea horizontal en un croquis de $y=f(x)$ que pasa por más de un punto, entonces la función no tiene inversa.

Utilizando esta prueba de línea horizontal en $f(x)=\frac{1}{x}$ no se puede trazar ninguna línea horizontal que pase por dos puntos del croquis de $y=\frac{1}{x}$ por lo que esto sugeriría que existe una inversa para $f(x)=\frac{1}{x}$ y que esto sería $f^{-1}(x)=\frac{1}{x}$ .

Así que mi pregunta es simplemente si $f(x)=\frac{1}{x}$ ¿tiene o no tiene inversa?

Answer 1

Dos cosas. Primero, cuando se habla de la inversa de una función es crucial que se especifique cuál es el codominio.

• si el codominio es $\mathbb{R}$ entonces hay un inverso a la izquierda pero no un inverso a la derecha
• si el codominio es $\mathbb{R} \setminus \{0\}$ entonces hay una inversa de dos caras

En segundo lugar, la "prueba de la línea horizontal" -si se quiere ver así- tiene dos partes:

1. si ninguna línea horizontal interseca la gráfica más de una vez, entonces la función tiene una inversa a la izquierda (inyectiva)
2. si cada línea horizontal interseca la gráfica al menos una vez, entonces la función tiene una inversa derecha (suryectiva)

Por lo tanto, si cada línea horizontal interseca la gráfica exactamente una vez, entonces la función tiene una inversa de dos lados (biyectiva).

Answer 2

La prueba de la línea horizontal que mencionas sólo comprueba si $f$ es inyectiva. La prueba correcta sería: toda línea horizontal cruza la gráfica exactamente una vez . (Esto suponiendo que el codominio sea $\Bbb R$ . En caso contrario, las líneas horizontales deberán limitarse al codominio correspondiente).

En efecto, $f$ tiene una inversa cuando se considera como una función de $\Bbb R \setminus \{0\}$ a $\Bbb R \setminus \{0\}$ . (Y no cuando se considera que el codominio es $\Bbb R$ .)

Pero aquí hay que considerar un fenómeno más general: Supongamos que $f : A \to B$ es una función. El codominio no es tan "inherente" a la función como su imagen (rango). Siempre se puede tomar un superconjunto del codominio y seguir teniendo la "misma función".
En particular, si $f : A \to B$ es una función inyectiva, entonces la "restricción" $f : A \to f(A)$ es una biyección y tiene una inversa. ( $f(A)$ denota la imagen de $f$ .)

En este sentido, sólo se necesita una inyección para tener una inversa, que es lo que dice la prueba de la línea horizontal original.

Answer 3

La prueba de la recta horizontal sólo nos dice que la función es inyectiva. De todos modos, antes de empezar a hablar de inyectividad/surjetividad/biijetividad, siempre debemos especificar dominios y espacios objetivo.

La función $f_1:\Bbb{R}\setminus\{0\}\to\Bbb{R}$ , $f_1(x)=\frac{1}{x}$ es inyectiva, pero no suryectiva.

La función $f_2:\Bbb{R}\setminus\{0\}\to\Bbb{R}\setminus \{0\}$ , $f_2(x)=\frac{1}{x}$ es biyectiva, y $(f_2)^{-1}=f_2$ .

La función $f_3:(0,\infty)\to \Bbb{R}$ , $f_3(x)=\frac{1}{x}$ es inyectiva pero no suryectiva.

La función $f_4:(0,\infty)\to (0,\infty)$ , $f_4(x)=\frac{1}{x}$ es biyectiva, y $(f_4)^{-1}=f_4$ .

Y así sucesivamente. Pero nótese que típicamente, si tenemos una función $f:A\to B$ que es inyectiva, no suele hacer daño restringir su espacio objetivo para que sea igual a la imagen, y entonces esa función resultante será biyectiva.

Answer 4

En primer lugar, el dominio de la función $f$ descrito por $f(x) = \frac 1x$ es $\mathbb R \backslash\{0\}$ (puede enchufar cualquier cosa menos $0$ en esta función). El alcance de la función también es $\mathbb R \backslash \{0\}$ porque la ecuación $y= \frac 1x$ es resoluble si $y \ne 0$ . Porque la solución de $y= \frac 1x$ es único para cualquier $y \ne 0$ la función es inyectiva (lo que corresponde a la comprobación de la línea horizontal). También se puede comprobar $$ \frac 1x = \frac 1y \Leftrightarrow 1 = \frac xy \Leftrightarrow x=y$$ porque $y \ne 0$ y $x \ne 0$ .

Cualquier función inyectiva tiene una inversa si se "reduce" el codominio (que se convierte en el dominio de la inversa) para que la función sea también suryectiva (basta con hacer que el rango de la función sea el codominio). Por tanto, $f: \mathbb R \backslash \{0\} \to \mathbb R, f(x) = \frac 1x$ no sería invertible - pero si manipulamos el codominio y lo cambiamos por $$f: \mathbb R \backslash \{0\} \to \mathbb R \backslash \{0\}, f(x) = \frac 1x$$ es invertible y $y= \frac 1x \Leftrightarrow x = \frac 1y$ nos dice que la inversa de $f$ es $f$ sí mismo.