Restricción de caracteres multiplicativos de $\mathbb{F}_{q^n}$

Question

Intento demostrar lo siguiente:

Sea $\eta$ sea un carácter multiplicativo de $\mathbb{F}_{q^n}$ de orden $m$ . Entonces, la restricción $\eta^\ast$ de $\eta$ a $\mathbb{F}_{q}$ es un carácter de orden $\dfrac{m}{gcd(m,(q^n-1)/(q-1))}$ . Lo más lejos que puedo llegar es que $ord(\eta^\ast)$ divide $gcd(m,q-1)$ (ya que su orden debe dividir $m$ ), ¿alguien puede darme alguna pista para solucionarlo?

Answer 1

Pista:

• Si $g$ es un generador del grupo multiplicativo $\Bbb{F}_{q^n}^*$ y $N:=(q^n-1)/(q-1)$ entonces $\gamma:=g^N$ es un generador del subgrupo $\Bbb{F}_q^*$ .
• ¿Puedes demostrar que el orden de un carácter multiplicativo $\eta$ de $\Bbb{F}_{q^n}$ (resp. de $\Bbb{F}_q$ ) es igual al orden de $\eta(g)$ (resp. de $\eta(\gamma)$ )?