¿Cuál es la notación estándar para la acción de grupo

Question

Por favor, indíqueme cuál es la notación estándar para la acción de grupo.

He visto las tres notaciones siguientes para la acción de grupo. (Todas las imágenes obtenidas como G\acts X para diferentes definiciones de \acts .)

(1)

Este es el que más he visto, pero sólo en letra manuscrita y me gusta. Pero no encontré una mejor manera de escribirlo en LaTeX.

\usepackage{mathabx,epsfig}
\def\acts{\mathrel{\reflectbox{$\righttoleftarrow$}}}

(2)

Es casi tan bueno como 1, pero en escritura a mano esta flecha puede tomarse como $G$ .

\usepackage{mathabx}
\def\acts{\lefttorightarrow}

(3)

Este lo he visto en prensa, supongo que se utiliza ya que no hay mejor símbolo en "amssymb".

\usepackage{amssymb} 
\def\acts{\curvearrowright}

Answer 1

Supongo que soy un poco minimalista en lo que respecta a la notación. He pasado gran parte de mi carrera escribiendo sobre acciones de grupo, y lo que suelo hacer es empezar definiendo qué es una acción de grupo, y luego decir algo como Si tenemos en mente una acción fija de G sobre X, entonces diremos que X es un espacio G y denotaremos por gx el resultado de la acción de g en G sobre un elemento x de X''.

Para ser más pedante, el punto es que para un grupo fijo G, los espacios G forman una categoría y si alguna vez tuvieras dos acciones diferentes de G sobre el mismo espacio topológico, realmente deberías usar dos símbolos diferentes para denotar ese espacio con las diferentes acciones Y es conveniente tener un morfismo (mapa equivariante) $\phi$ entre espacios G sólo significa que $\phi(gx) = g \phi(x)$ .

Answer 2

Como este fue el primer éxito en google para "flecha de acción de látex", pero no contenía lo que quería, permítanme publicar lo que he descubierto. Pero para hacer frente a los problemas de otras personas con la pregunta original: aunque estoy de acuerdo en que en una frase se debe decir simplemente "Let $G$ actuar $X$ ...", me interesaba dibujar un diagrama (que algunos llaman genéricamente "conmutativo") para mostrar visualmente las relaciones entre varios objetos (como haces tú).

De todos modos, hay un símbolo $\circlearrowright$ que es casi lo que quería. Si haces esto:

\usepackage {graphicx}
G\ \rotatebox[origin=c]{-90}{ \$\circlearrowright\$ }\ X

obtendrás una flecha cuyo principio y final están justo al lado de la X.

Answer 3

Por cierto, todavía recuerdo la confusión que sentí las primeras veces que vi esta notación: no es por ser demasiado delicado, pero hay algo sintácticamente nuevo más allá de la notación habitual de función / flecha.

En mi opinión, no se trata en absoluto de una notación, sino más bien de taquigrafía . En otras palabras, es algo que puede utilizar en sus propias notas manuscritas y algo que puede escribir en la pizarra si confía en que sus oyentes le entenderán. (Supongo que si empiezo a contar historias sobre todas las charlas que presencié como estudiante de posgrado en Harvard y que pasaron por encima de mi cabeza, tanto si el orador lo pretendía como si no, no obtendré suficientes respuestas del tipo "Oh, pobrecito" para justificar el esfuerzo. Pero ocurrió muchas veces). Es bueno contar con una taquigrafía consensuada. Por ejemplo, en la clase de álgebra conmutativa que acabo de impartir, cuando las cosas se ponían calientes y pesadas no quería seguir escribiendo " $I$ es un ideal de $R$ ", así que lo taquigrafié y lo expliqué las 20 primeras veces que lo utilicé. (Pero en mis apuntes de clase no aparece en ninguna parte: si tengo tiempo para redactar apuntes de clase, seguro que tengo tiempo para escribir " ". $I$ es un ideal de $R$ ".

Por lo tanto, no recomendaría a nadie que incluyera esta notación en sus escritos matemáticos formales. Nótese que Dick Palais ha dicho esencialmente lo mismo arriba, así que: ¡no me escuchen a mí, sino a él!

Answer 4

Siempre es una pena, por supuesto, cuando ninguno de los muchos paquetes LaTeX tiene precisamente el símbolo que podría utilizar en la pizarra. Al escribir, hay que intentar utilizar palabras siempre que sea posible, o al menos complementar los símbolos con palabras. Alguien que sólo lea las palabras debería ser capaz de captar los matices de su notación. Y, lo que es más importante, utilice la notación de forma coherente a lo largo de todo el documento.

Cuando hables en la pizarra, debes hablar todo lo que escribas, y escribir todo lo que hables, en el siguiente sentido: alguien ciego debe poder seguir la mayor parte de tu charla, y también alguien sordo debe poder seguir la mayor parte de la charla. Esto es importante incluso cuando se habla de tú a tú con otra persona. Así que escribe " $G \acts X$ " para su definición favorita de $\acts$ , pero tú hablas "Let $G$ actuar $X$ ." Y en los enunciados más importantes de la charla, es decir, los enunciados de definiciones y teoremas, debes escribir todas las palabras: "Sea $G$ actuar $X$ ."

Personalmente, me gusta alguna variación de tu opción 1. He visto la 3, y la utilizo en algunos apuntes de clase. No me gusta la 2: cuando la gente lee, tiende a dar mucha más importancia visual a la parte superior de las palabras y las letras que a la inferior (por eso casi todas las letras no cuelgan por debajo de la línea de base, sino que hay muchas que sobresalen más arriba, y casi se puede leer sólo con saber qué letras van más arriba). Así que pon la flecha arriba.

Answer 5

Además de lo dicho, me gustaría mencionar el siguiente aspecto: una acción de grupo no suele venir sola. Cuando $G$ actúa sobre un conjunto $X$ casi seguro que también le interesará la acción inducida de $G$ sobre cierto tipo de funciones sobre $X$ Piensa en un colector liso $M$ y de funciones suaves, o de campos tensoriales suaves sobre $M$ o lo que no. Entonces la acción de grupo inducida puede ser vista como un derecha acción cuando $G$ actúa desde la izquierda sobre $X$ o tiene que conectar un $^{-1}$ para volver a convertir las cosas en una acción de izquierdas. En varias situaciones (por ejemplo, mapas equivariantes en el dual de un álgebra de Lie, etc.) puede convertirse en un desastre notacional si se quiere especificar todo tipo de acciones con un símbolo separado. Sin embargo, puede ser importante saber si se trata de una acción izquierda o derecha.

Así que mi costumbre es denotar la acción de un elemento del grupo $g$ en algún objeto $x \in X$ por $g \triangleright x$ si se trata de una acción a la izquierda y por $g \triangleleft x$ o mejor $x \triangleleft g$ si se trata de una acción correcta. Entonces no tiene que preocuparse de si ya ha incluido el $^{-1}$ en la acción coadjoint para que sea una acción a la izquierda o simplemente quedarse con una acción a la derecha :)