Cálculo del mapa/operador de forma de Weingarten

Question

Sea $M$ sea una superficie de revolución de la forma

$F(t,s)=(r(t)\cos(s),r(t)\sin(s),z(t))$

donde $\gamma(t)=(r(t),z(t))$ es una curva con velocidad unitaria y $r(t)>0$ .

Sé que la unidad normal a $M$ es $\xi(s,t)=(-z'(t)\cos(s),-z'(t)\sin(s),r'(t))$ (o escrito como $-z'(t)\cos(s) \partial_x -z'(t)\sin(s) \partial_y+ r'(t) \partial_z$ )

y ahora quiero calcular el mapa de Weingarten $S^{\xi}$ . Sé que para $X \in \mathfrak{X}(M)$ , $S^{\xi}(X)=-\nabla_X \xi=-X(\xi)$ . $X$ es entonces de la forma $X(s,t)=X_s \partial_s +X_t \partial_t$ . Ahora tengo problemas para conectar $\xi$ en $X$ . ¿Puedo calcular de alguna manera $\partial_x$ en términos de $\partial_s, \partial_t$ ?

Siempre tengo grandes problemas para hacer este tipo de cálculos en ejemplos concretos, así que lo siento si algo de lo que he escrito aquí es un completo disparate..

Answer 1

Creo que la mejor manera de calcular la matriz $S$ para el operador de forma en el $(\partial t,\partial s)$ base es utilizar

$$h=g\cdot S $$ donde $g$ y $h$ son las matrices correspondientes a la primera y segunda forma fundamental:

$$g=\begin{pmatrix}\langle\frac{\partial F}{\partial t},\frac{\partial F}{\partial t}\rangle&\langle\frac{\partial F}{\partial t},\frac{\partial F}{\partial s}\rangle\\\langle\frac{\partial F}{\partial t},\frac{\partial F}{\partial s}\rangle&\langle\frac{\partial F}{\partial s},\frac{\partial F}{\partial s}\rangle\end{pmatrix}\space\space\space\space h=\begin{pmatrix}\langle\frac{\partial^2 F}{\partial t\partial t},\xi\rangle&\langle\frac{\partial^2 F}{\partial t \partial s},\xi\rangle \\\langle\frac{\partial^2 F}{\partial t \partial s},\xi\rangle &\langle\frac{\partial^2 F}{\partial s\partial s},\xi\rangle \end{pmatrix}$$

Debe llegar a

$$g=\begin{pmatrix}1&0\\0&r^2\end{pmatrix}\space\space\space\space h=\begin{pmatrix}r'h''-r''h'&0\\0&rh'\end{pmatrix}\space\space\space\space S=\begin{pmatrix}r'h''-r''h'&0\\0&h'/r\end{pmatrix}$$