El grupo lineal especial afín actúa doblemente transitivo

Question

Sea $F$ sea un campo y $d \ge 2$ . Denotemos por $ASL_d(F)$ el grupo lineal especial afín es decir, el grupo de todas las transformaciones sobre $F^d$ avec $t_{A,v}(u) = Au + v$ y $\det A = 1$ . Quiero demostrar que este grupo es $2$ -transitiva (también llamada doblemente transitiva) en los puntos de $F^d$ . Para ello tengo que demostrar que para $x,y, x', y'$ avec $x \ne y$ y $x' \ne y'$ Puedo encontrar un elemento $t_{A,v} \in ASL_d(F)$ tal que $$x' = t_{A,v}(x) = Ax + v \qquad\mbox{and}\qquad y' = t_{A,v}(y) = Ay + v.$$ ¿Alguna idea o sugerencia para solucionarlo?

Lo he resuelto en el caso $d = 2$ mediante una solución engorrosa de las ecuaciones implicadas, con la restricción del determinante para $d = 2$ con lo anterior tengo cinco ecuaciones y seis incógnitas (los elementos de la matriz y del vector de traslación $v$ ), por lo que podría solucionarse. Pero mi solución es bastante desordenada e implica un montón de reordenamiento y manejo de ecuaciones, por lo que cualquier solución corta sería preferible?

Answer 1

Es fácil demostrar que el grupo es uni-transitivo. Una vez hecho esto, se puede tomar cualquier vector (el vector 0 es fácil de trabajar), y demostrar que el estabilizador de ese vector es transitiva en los otros vectores (esta es una manera equivalente de mostrar 2-transitividad). (Pista: el estabilizador del vector 0 es ${\rm SL}_{d}(F)$ ).

Si prefieres demostrarlo directamente mostrando cualquier par $(x,y)$ puede asignarse a cualquier otro par $(x^{\prime}, y^{\prime})$ se puede pensar en transformar en varios pasos utilizando varios elementos de grupo. Encuentra un $g_{1}$ cartografía $x$ a $0$ y $y$ a $y-x$ , a $g_{2}$ cartografía $0$ a $0$ y $y-x$ a $y^{\prime}-x^{\prime}$ y, a continuación $g_{3}$ cartografía $0$ a $x^{\prime}$ y $y^{\prime} - x^{\prime}$ a $y^{\prime}$ . Pensarlo en esta secuencia debería permitirte garantizar la existencia de un mapeo $g_{3}(g_{2}(g_{1})))$ de $(x,y)$ a $(x^{\prime}, y^{\prime})$ .

Answer 2

Primero te das cuenta de que debes tener $$\vec{x^\prime y^\prime} = A. \vec{xy}.$$ En $x^\prime \neq y^\prime$ y $x \neq y$ ambos vectores $e_1=\vec{xy}$ y $e_1^\prime=\vec{x^\prime y^\prime}$ son distintos de cero.

Complete $\{e_1\}$ y $\{e_1^\prime\}$ en base $\mathcal B=(e_1, \dots ,e_d)$ y $\mathcal B^\prime=(e_1^\prime, \dots ,e_d^\prime)$ de su espacio vectorial asociado que denomino $E$ . Puede encontrar un mapa lineal $A$ que transforman $\mathcal B$ en $\mathcal B^\prime$ Por lo tanto $\det A \neq 0$ . Además, al cambiar $e_d^\prime$ en $\frac{e_d^\prime}{\det A}$ (lo cual es posible como suponía $d \ge 2$ ), incluso puede obtener $A$ tal que $\det A=1$ .

Por último, se calcula $v=y-A.x$ .