Formulación matemática del espaciotiempo clásico

Question

He visto dos formulaciones de la Mecánica Clásica:

• El espaciotiempo newtoniano (lo aprendí en las conferencias del profesor Frederic P. Schuller): Definición: Un espaciotiempo newtoniano es un quíntuple $(M, \mathcal{O}, \mathcal{A}, \nabla, t)$ donde $(M, \mathcal{O}, \mathcal{A}, \nabla)$ es una múltiple diferenciable con una conexión libre de torsión, y $t\in C^{\infty}(M)$ es tal que $dt\neq 0$ y $\nabla dt=0$
• Espaciotiempo galileano (enfoque popular utilizado sobre todo en la obra de Arnold Mathematical Methods of Classical Mechanics). Definición: Un espaciotiempo galileano es un cuádruple $(\mathcal{E}, V, g, \tau)$ donde $\mathcal{E}$ es un espacio afín modelado en un espacio vectorial real de cuatro dimesiones $V$ , $\tau\in V^*$ y $g$ es un producto interno sobre $\text{ker} \tau$

El primer enfoque me parece mucho más bonito, ya que se extiende fácilmente a los espaciotiempos relativistas. Sin embargo, me cuesta entender su uso práctico, ya que no he podido encontrar fuentes al respecto, aparte de una serie de conferencias Klassischen Mechanik de Schuller. Por otro lado, he encontrado al menos tres libros que tratan del segundo enfoque.

Me preguntaba dos cosas. Dado que mi alemán es muy malo, ¿alguien tiene alguna fuente en español o inglés que trate el primer planteamiento? Además, el primer enfoque parece ser más general que el segundo. ¿Hay alguna manera de llegar al segundo enfoque desde el primero introduciendo algunas estructuras adicionales? Me interesa especialmente una afirmación que hizo Schuller en una de sus clases. Dijo que la idea de tener una métrica en los espaciotiempos newtonianos es un artefacto de los marcos de referencia inerciales. Por eso en la primera definición no hay métrica, sino un objeto mucho más débil, una conexión. Dado que la segunda aproximación tiene una métrica inducida por el producto interior, quizá mediante una elección inteligente de los gráficos en la primera aproximación se podría llegar a la segunda.

Gracias.

Answer 1

Al parecer, el profesor Schuller se refiere a la Formulación axiomática de la teoría newtoniana de la gravedad de la que conozco dos versiones, una de Andrzej Trautman, descrita en:

• Trautman, Andrzej (1963). "Sobre la teoría newtoniana de la gravitación". En: Informes semanales de las sesiones de la Academia de Ciencias 257, pp. 617-620,
• - (1967). "Comparación de las teorías newtoniana y relativista del espacio-tiempo". En: Perspectivas en geometría y relatividad. Ensayos en honor de V. Hlavat'y. Ed. por B. Hoffman. Bloomington: Indiana University Press, pp. 413-425,
• sección 5.5 de Trautman, A., F. A. E. Pirani, y H. Bondi (1965). Lectures on general relativity. Prentice-Hall,

y otra introducida por Künzle-Ehlers. Ambas suceden a la teoría de Newton-Cartan. Su principal utilidad práctica es demostrar que dicha teoría de la gravedad tiene muchos de los problemas que tiene la relatividad general.

Según el desarrollo de esta teoría, la métrica de las hipersuperficies de constante $t$ es la parte de la matriz degenerada $g^{ab}$ que no sea singular. Para fijar la coordenada temporal y concluir que $g^{ab}$ es constante, tenemos que hacer los cálculos utilizando la conexión plana $\overset{0}{\Gamma}{}_{bc}^a$ que corresponde al sistema de coordenadas inerciales.

Una forma sencilla de concluir esto, aunque esté fuera del contexto de la formulación axiomática mencionada, es si escribes la lagrangiana: $$L = \frac{1}{2} h_{ab}(x) \dot{x}^a \dot{x}^b - V(x),$$ y derivar las ecuaciones de movimiento, que producirán las geodésicas. La ley gravitatoria de Newton sólo aparecerá en la forma conocida si la conexión desaparece, lo que implica que el sistema de coordenadas es inercial, y conduce a la interpretación correcta de la métrica $h_{ab}$ .

Answer 2

Me interesa especialmente una afirmación que hizo Schuller en una de sus clases. Dijo que la idea de tener una métrica en los espaciostiempos newtonianos es un artefacto de los marcos de referencia inerciales. Por eso en la primera definición no hay métrica, sino un objeto mucho más débil, una conexión.

Por lo tanto, ahora he visto partes de la vídeo que has publicado en los comentarios, incluida la parte en la que supongo que basas esta afirmación. No se trata de la derivación de una métrica de la conexión (es decir, metrizability), pero la existencia de un espacial métrico.

Citando el vídeo:

Tener una métrica de espacio es una ficción de sistema inercial

El énfasis es mío. Lo que Schuller quería señalar es que en los sistemas no inerciales, el hecho de que la métrica viva en espaciotiempo se vuelve relevante.

Encontrará más información en conferencia 9 de su serie alemana. Presenta la Espaciotiempo newtoniano con espacio absoluto definido como Espaciotiempo newtoniano con un métrica espacial del espaciotiempo (una forma bilineal simétrica en el espaciotiempo que ignora la componente temporal de sus argumentos) que es compatible con la conexión. A continuación se demuestra que, gracias a la condición de compatibilidad, dicha forma induce una métrica espacial real sobre las hojas a igual tiempo que es independiente del tiempo, lo que nos permite escoger cualquiera de las hojas como representante del espacio absoluto.

Obsérvese que un espaciotiempo de este tipo sigue siendo más general que la segunda definición que diste para el espaciotiempo galileano, ya que la variedad subyacente no está restringida al espacio afín.

Answer 3

En cuanto a tu primera pregunta sobre aproximaciones similares a la construcción del Espacio-Tiempo Clásico en inglés, te sugeriría que echaras un vistazo al libro de Marcelo Epstein: The geometrical language of continuum mechanics (Cambridge University Press). No estoy muy seguro de todos sus símbolos (no tengo formación en relativística general ni soy especialista en geometría diferencial) pero creo que su construcción es al menos similar y podría interesarte.