Fibración con espacio total una variedad simpléctica y espacio base conectado de forma que las fibras son submanifolds simplécticos

Question

En el libro de Dusa McDuff y Dietmar Salamon Introducción a la Topología Simpléctica , el lema 6.1.3(página 253) establece que:

Sea $\colon M\to B$ sea una fibración localmente trivial con conectadas y $\omega \in \Omega^2(M)$ sea una forma simpléctica tal que son todos submanifolds simplécticos de M. Entonces $\colon M\to B$ admite la estructura de una fibración simpléctica que es compatible con $\omega$ .

Suponemos que $M$ es cerrada y conexa, y la fibra $(F,\sigma)$ es en sí misma una variedad simpléctica. Por compatible con $\omega$ nos referimos a la restricción de $\omega$ a cada fibra coincide con la forma de pullback de $\sigma$ a lo largo de trivializaciones locales. Utilizamos $l_b$ para denotar la inclusión de la fibra $F_b$ en $b\in B$ en $M$ .

Ahora la prueba parte de un ejercicio:

Primero usa el teorema de Stokes para demostrar que las formas simplécticas $\sigma_b=l_b^*(\sigma)$ representan todas la misma clase de cohomología en $H^2(F)$ bajo las trivializaciones locales ${\phi_{\alpha}}(b)\colon F_b\to F$ .

Mi pregunta es: ¿cómo podríamos hacerlo? Soy principiante en el estudio de la topología simpléctica. Creo (vagamente) que esto debería ser cierto porque para dos puntos cualesquiera en $B$ podemos conectarlos mediante una secuencia de gráficos locales. Pero, ¿cómo entra en juego el teorema de Stoke? Gracias.

Answer 1

Sea $(U_i,f_i)$ sea una trivialización de la fibración, donde $f_i:U_i\times F\rightarrow M$ . Considere $(u_0,b_0); (u_1,b_1)\in U_i\times F, u_0,u_1\in U_i, b_0,b_1\in F$ . Suponemos que existe un camino $p_t:[0,1]\rightarrow U_i\times F$ tal que $p_0=(u_0,b_0)$ y $p_1=(u_1,b_1)$ . Esto define un mapa $P:[0,1]\times F\rightarrow M$ por $P(t,f)=f_i(p_t,f)$

Sea $[c]\in H_2(F)$ puede representarse mediante un mapa $c:S\rightarrow F$ donde $F$ es una superficie. Consideremos $C:[0,1]\times S\rightarrow [0,1]\times F$ definido por $C(t,s)=(t,c(s))$ El $2$ -forma $\omega_S=C^*P^*\omega$ es cerrado, deducimos que $d\omega_S=0$ esto implica que $\int_{[0,1]\times S}d\omega_S=\int_{0\times S}i_{u_0}^*\omega-\int_{S_1}i_{u_1}\omega=0$ . Esto implica que $[\omega_{u_0}]=[\omega_{u_1}]$ .