Cuáles son los elementos irreducibles del anillo polinómico $\mathbb Q[x]$ ?

Question

Sea $R$ sea el anillo de $f(x) \in \mathbb{Q}[x]$ tal que $f(0) \in \mathbb{Z}$ . Hallar los elementos irreducibles de $R$ .

Creo que necesito demostrar tres cosas. Primero, que elementos de la forma $\pm p$ para $p$ primos y funciones $f(x)$ donde $f(0) = \pm 1$ son irreducibles. En segundo lugar, necesito demostrar que los polinomios no constantes donde $f(0) \neq \pm 1$ no son irreducibles. En tercer lugar, necesito demostrar que los polinomios constantes que no son primos y no $\pm 1$ son reducibles.

La última es sencilla. Si $f(x) = c$ entonces $f(x) = ab$ donde $a,b$ no son ni $c$ ni $1$ o $-1$ . Desde $\pm 1$ son las únicas unidades en $R$ ni $a$ ni $b$ son unidades, por lo que $f(x)$ es reducible.

No sé cómo probar las dos primeras partes ni si voy por buen camino.

Answer 1

En primer lugar, si $f(0)=0$ entonces $f/2\in R$ de ahí $f=2\frac f2$ es reducible.

Del mismo modo, si $|f(0)|>1$ entonces $f/f(0)\in R$ y así $f$ es reducible, a menos que sea constante, en cuyo caso debe ser primo para ser irreducible.

Ahora demuestre que si $f(0)=\pm1$ entonces $f$ es irreducible en $R$ si es irreducible en $\Bbb Q[x]$ (que, por cierto, no es necesariamente fácil de decidir).

Si $f=gh$ en $R$ entonces $g$ y $h$ no son constantes (a menos que $\pm1$ ) ya que $f(0)=\pm1$ por lo que muestra reducibilidad en $\Bbb Q[x]$ .
A la inversa, si $f=gh$ con $g,h\in\Bbb Q[x]$ y $f\in R,\,f(0)=\pm1$ entonces tenemos $f(0)=g(0)h(0)=\pm1$ y así $f=f(0)\cdot g/g(0)\cdot h/h(0)$ es una descomposición de $f$ en $R$ .