¿Están las matrices hermitianas casi conmutativas cerca de las matrices conmutativas (en la norma 2)?

Question

Considero que el $M_n(\mathbb C)$ la normalizada $2$ -es decir, la norma dada por $\|A\|_2 = \sqrt{\mathrm{Tr}(A^* A)/n}$ .

Mi pregunta es si un $k$ -de matrices hermitianas que son casi conmutativas (con respecto a la $2$ -) se aproxima a $k$ -de matrices conmutativas (de nuevo con respecto a la $2$ -norma). Más concretamente, para un número entero $k$ ¿es cierta la siguiente afirmación?

Por cada $\varepsilon>0$ existe $\delta>0$ tal que para cualquier $n$ y cualquier matriz $A_1,\dots, A_k\in M_n(\mathbb C)$ satisfaciendo $0\leq A_i\leq 1$ y $\|A_iA_j - A_j A_i\|_2 \leq \delta$ existen matrices conmutativas $\tilde A_1,\dots,\tilde A_k$ satisfaciendo $0\leq \tilde A_i\leq 1$ y tal que $\|A_i - \tilde A_i\|_2 \leq \varepsilon$ .

Lo importante es que $\delta$ no depende de $n$ .

No he encontrado ninguna referencia a este problema en la literatura. Sin embargo, esta pregunta con el $2$ -sustituida por la norma del operador. Y se sabe que la respuesta es cierta si $k=2$ (resultado debido a Lin ) y falso para $k=3$ y, por tanto $k\geq 3$ (resultado de Voiculescu ).

Answer 1

Hay un documento reciente de Glebsky titulado "Almost commuting matrices with respect to normalized Hilbert-Schmidt norm" que demuestra que esto es cierto para cualquier $k$ para matrices hermitianas (y de hecho también matrices unitarias y normales).

Answer 2

La respuesta es sí, y mucho más. Cualquier álgebra de von Neumann hiperfinita (con predual separable) tiene una incrustación única (hasta conjugación) en el ultraproducto de la hiperfinita $II_1$ -factor.

Esto implica, en particular, que las matrices casi conmutativas en Hilbert-Schmidt se aproximan a las matrices conmutativas. Las pruebas van por contradicción; supongamos que hay una secuencia de contraejemplos y construyamos incrustaciones no conjugadas. Dado que cualquier álgebra abeliana de von Neumann es hiperfinita, se llega a una contradicción.

Kenley Jung demostró que la unicidad de la incrustación también implica que el álgebra es hiperfinita.

Answer 3

Acabo de encontrar la discusión. En este artículo de Filonov y Kachkovskiy hay mejores estimaciones que minas y contiene citas de pruebas utilizando álgebras de von Neumann.

(También fue una sorpresa para mí por qué mi trabajo está en Geometría Algebraica. Probablemente sea un error mío. No he encontrado una manera fácil de arreglarlo).

Answer 4

Como parte de mi tesis, "Operadores casi conmutativos en álgebras de von Neumann". he extendido el resultado de Glebsky a la clase Schatten normalizada para $1 \leq p < \infty$ . Además, para $p=2$ recuperamos el teorema de Filonov y Kachkovskiy con la misma estimación. En nuestro trabajo, sin embargo, utilizamos técnicas diferentes ya que la p-norma de Schatten normalizada no surge de un producto interior para $p \neq 2$ .