Demuestra que $\lim_{n \to \infty} \frac{k^n}{n!} =0$ para todos $k$ en $\mathbb{R}$

Question

$$\lim_{n\to\infty} \frac{k^n}{n!}=0 \, \forall\:k\in \mathbb{R}$$

He intentado encontrar un $N$ en término de épsilon en la definición de límite, pero en vano. He probado con log, pero $\log (n!)=\log(1)+\log(2)+...+\log(n)$ no parece ayudar en este caso.

¿Podría ayudarme con este problema?

Gracias.

Answer 1

Considere la relación

$$\frac{\frac{k^{n + 1}}{(n + 1)!}}{\frac{k^n}{n!}} = \frac{n!}{(n + 1)!} \frac{k^{n + 1}}{k^n} = \frac{k}{n + 1} \to 0$$

como $n \to \infty$ . Por lo tanto, por la prueba de relación la suma

$$\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{k^n}{n!}$$ converge para cada $k \in \mathbb{R}$ . En particular, los términos de la secuencia que se suma deben tender a $0$ .