Noah: La frase "hay un no real en $L$ " es $\Sigma^1_3$ : Decir que $x\notin L$ significa que para cada $y$ si $y$ codifica un modelo de la forma $L_\alpha$ entonces $x$ no está en este modelo; pero decir que $y$ códigos y $L_\alpha$ (para un $\alpha$ ) significa que $y$ codifica una estructura $(M,E)$ (esto es aritmética) que satisface, digamos, $KP+V=L$ (puede hacerlo, por ejemplo, en un $\Delta^1_1$ manera); y hay que expresar que esta estructura está bien fundada, para lo cual basta con decir que ningún real codifica una secuencia decreciente a través de sus ordinales.
Contando los cuantificadores, resulta $\Sigma^1_3$ . Es falso en $L$ y verdadero después de añadir un real Cohen.
Por otra parte, si $\phi$ es $\Pi^1_3$ y se mantiene en un modelo externo de $V$ entonces se cumple en $V$ : La frase dice que todo real (en la extensión) tiene una propiedad absoluta, por lo que en particular todo real en $V$ tiene esa propiedad, en $V$ .
Esto, sin embargo, no es "el límite del absolutismo", según su título, sino sólo del absolutismo de Shoenfield. Grandes cardinales en el universo le otorgan propiedades absolutas mucho más fuertes entre $V$ y sus extensiones forzosas. Incluso a nivel de (negrita) $\Sigma^1_3$ genérico absoluto, esto implica afilados. Una buena prueba está esbozada en mi artículo con Ralf Schindler, "Projective well-orderings of the reals" Archive for Mathematical Logic 45 (7) (2006), 783-793, disponible en my página .
Más allá de este nivel, pero aún considerando enunciados proyectivos, los cardinales fuertes están implicados, por un buen resultado de Woodin. Puedes leer los detalles en "el teorema del modelo derivado" de John Steel, que también te ofrece una buena introducción a algunos de los temas que surgen al estudiar lo absoluto, como las representaciones universalmente Baire de conjuntos. El artículo está disponible en John's página .
Incluso más allá de este nivel se puede decir algo. Ahora se necesitan los cardenales de Woodin, y lo absoluto está ligado a lo determinante. De hecho, la afirmación de que "ningún conjunto forzado puede cambiar la teoría de la $L({\mathbb R})$ incluso considerando los reales como parámetros", equivale a decir que la determinación se cumple en $L({\mathbb R})$ en cualquier conjunto que fuerce la extensión. Esto a su vez equivale, por ejemplo, a la afirmación de que el ratón $M_\omega^\sharp$ existe y es totalmente iterable . $M_\omega^\sharp$ es un objeto estructural fino (una generalización de un nivel de $L$ o de $L[\mu]$ ) con $\omega$ Cardenales de madera. La iterabilidad completa es una condición técnica, pero garantiza que en cualquier extensión forzosa, $L({\mathbb R})$ es un derivado un requisito del que se desprende la determinabilidad.
E incluso podemos continuar más allá $L({\mathbb R})$ un rato. Pero me detendré aquí.
