Cómo demostrar la convergencia de $u_{n+1}=\frac{\sin(u_n)}{n+1}$ ?

Question

Primero me piden que demuestre que para todo n, $u_n \in [0,1]$ para $u_0=1$ . Este es mi intento:

Estudiemos primero la función definida como $f_x(n)=\frac{\sin(x)}{1+n}$ donde $x$ es fijo y $x \in[0,\frac{2}{\pi}]$ . Podemos ver inmediatamente que $0\leq f_x(n) \leq \frac{\pi}{2(n+1)}$ .

También sabemos que $\sin$ es estrictamente decreciente cuando $x$ tiende a $0$ en el intervalo [0,1]. Así que ahora podemos decir algunas cosas:

• $f_x(n)$ es decreciente
• En $f_x(n) \leq \frac{\pi}{2(n+1)}$
• $\forall n \geq 1$ $\frac{\pi}{2(n+1)}\leq 1$
• Así $\sin(\frac{\pi}{2(n+1)})$ es decreciente
• Así $\sin(\frac{\pi}{2(n+1)}) \leq \sin(\frac{\pi}{2n})$
• Así $u_{n+1} \leq u_n$
• Finalmente como $u_0=1$ tenemos $u_n \leq 1$
• En $\sin(x) \geq 0 \forall x \in [0,\frac{\pi}{2}]$ tenemos $un>0$ Así pues $u_n \in [0,1]$ para todo n.

Creo que mi razonamiento puede ser bastante confuso, pero soy incapaz de encontrar algo más claro. Mis pensamientos son bastante desorganizados para estos casos.

Ahora tengo que demostrar que $\sum u_n$ converge. Pero aquí no sé cómo proceder para hacerlo.

Answer 1

Aquí tienes un planteamiento directo, si quieres una respuesta siguiendo tu planteamiento, deja un comentario.

Demostramos inductivamente que $0≤u_n≤\frac{1}{n!}$ para todos $n\in\mathbb{N}_0$ . Esto es válido para $n=0$ por lo que se supone que es cierto para un $n\in\mathbb{N}_0$ arreglar. A continuación, utilizando que cada vez que $0≤x$ entonces $0≤\sin(x)≤x$ obtenemos $$0≤u_{n+1}=\frac{\sin(u_n)}{n+1}≤\frac{u_n}{n+1}\le\frac{1}{(n+1)!}.$$ Por lo tanto, la desigualdad se cumple para todos $n$ . Por el teorema de squeeze obtenemos que $\lim_{n\to\infty}u_n=0$ y por comparación obtenemos la convergencia de $\sum_{n=0}^{\infty}u_n$ .

Answer 2

Usted tiene

$$\forall n\geq 0\; |u_{n+1}|\leq \frac{1}{n+1}$$

$$\implies \lim_{n\to+\infty}u_n=0$$

$$\implies \sin(u_n)\sim u_n \;(n\to+\infty)$$

$$\implies u_{n+1}\sim \frac{u_n}{n+1} .$$

por inducción, demuestras que $u_n>0$ .

así

$$\frac{u_{n+1}}{u_n}\sim \frac{1}{n}$$

y por prueba de proporción, $\sum u_n$ converge.

Answer 3

Dado que $u_0 = 1$ y $$u_{n+1} = \frac{ \sin u_n }{n+1} \ \mbox{ for } \ n = 0, 1, 2, 3, \ldots,$$ observamos que $u_0 \in [0,1]$ y si $u_n \in [0,1]$ entonces $$0 \leq u_n \leq 1 < \frac{\pi}{2},$$ lo que implica que $$0 \leq \sin u_n < 1,$$ y por lo tanto $$0 \leq u_{n+1} < \frac{1}{n+1} \leq 1$$ para todos $n = 0, 1, 2, 3, \ldots$ . Aquí hemos utilizado el hecho de que la función seno es estrictamente creciente en $[0, \frac{\pi}{2}]$ y que $\sin 0 = 0$ y $\sin \frac{\pi}{2} = 1$ .

Ahora, utilizando la función auxiliar $f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definido por $f(t) = t - \sin t$ para todos $t \in \mathbb{R}$ observamos que $$\frac{\mathrm{d} f(t)}{\mathrm{d} t} = 1- \cos t > 0$$ si $0 < t < 2 \pi$ mostrando que esta función es estrictamente creciente en $[0, 1]$ . Ahora $f(0) = 0$ . Así que $f(t) \geq 0$ para todos $t \in [0, 1]$ . Es decir, $$t \geq \sin t \ \mbox{ for all } \ t \in [0, 1].$$

Así, obtenemos $$u_{n+1} = \frac{\sin u_n}{n+1} \leq \frac{u_n}{n+1} \leq u_n$$ para todos $n = 0, 1, 2, 3, \ldots$ mostrando así que esta secuencia es monotónicamente decreciente.

Por tanto, tenemos una secuencia monotónicamente decreciente que también está acotada por debajo. Por lo tanto, esta secuencia es convergente.

Sea $u$ denota el límite de esta secuencia. Entonces $u$ debe cumplir $$0 \leq u \leq 1 \ \ \mbox{ and } \ \ u = \lim_{n \to \infty} u_{n+1},$$ y por lo tanto $u$ debe ser $0$ .