Demostrar que $ \frac{a+b}{\sqrt{ab(1-ab)}} + \frac{b+c}{\sqrt{bc(1-bc)}} + \frac{c+a}{\sqrt{ca(1-ca)}} \le \frac{\sqrt{2}}{abc}$

Question

Demostrar la siguiente desigualdad donde reales positivos $a$ , $b$ , $c$ satisface $ab+bc+ca=1$ . $$ \frac{a+b}{\sqrt{ab(1-ab)}} + \frac{b+c}{\sqrt{bc(1-bc)}} + \frac{c+a}{\sqrt{ca(1-ca)}} \le \frac{\sqrt{2}}{abc} $$ Lo tengo. $ \frac{a+b}{\sqrt{ab(1-ab)}}=\frac{a+b}{\sqrt{ab(bc+ca)}}=\frac{a+b}{\sqrt{abc(a+b)}}.$

Racionalizando, obtenemos $\frac{a+b}{\sqrt{abc(a+b)}}=\frac{(a+b){\sqrt{abc(a+b)}}}{abc(a+b)}=\frac{\sqrt{abc(a+b)}}{{abc}}$

Entonces basta con demostrar que $\sum_{cyc}\sqrt{abc(a+b)}\le \sqrt2.$

¿Alguna ayuda?

Answer 1

Deje $x=ab,y=bc,z=ca$ y $x+y+z=1$

después de su trabajo tenemos que mostrar $$\sum_{cyc} \sqrt{2x(y+z)}\le 2$$ lo que es cierto por AM-GM $$\sum_{cyc} \sqrt{2x(y+z)}\le \sum_{cyc}\frac{2x+y+z}{2}=2$$