Ecuación de la superficie del embudo de un remolino forzado en un cilindro

Question

Me preguntaba qué función describe la forma de un embudo de remolino en un líquido (digamos, agua) girado por una especie de paleta hundida en profundidad en un barril cilíndrico.

Para simplificar el problema, supongamos:

1. agua en un recipiente cilíndrico de gran altura y un $R$ radio

2. una barra cilíndrica de radio $r$ ( $\ll R$ ), a lo largo del eje del recipiente, girando con una velocidad angular $\omega$ - supongamos que lo acciona un motor.

3. todo en el campo gravitatorio con el típico $g$ aceleración

Espero que al cabo de cierto tiempo, todo el volumen de agua se vea envuelto más o menos en una rotación estable/estacionaria y la superficie del agua muestre una forma típica de embudo de remolino (intersecado por la varilla central motriz).

Q : Me interesa la ecuación de la curva generatriz del embudo de remolino una vez alcanzadas las condiciones estacionarias (simetría cilíndrica, ¿no?). No me interesa el tiempo necesario para alcanzar las condiciones estacionarias.

_{Ignorar el efecto secundario, como el menisco que humedece la varilla motriz, el calor potencial que crearía la viscosidad y el efecto de las variaciones de temperatura en la viscosidad del agua.}

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Referencias adicionales que pude encontrar:

• Vórtice Batchelor - condiciones de contorno infinitas, con flujo axial.

• Vórtice de Rankine - flujo forzado arremolinado (¡sí! ¡sí!) pero no unido radialmente (ahhhh)

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Nota práctica (no incluida en el modelo de aproximación anterior): aireación de los depósitos de agua. A qué velocidad debo hacer girar un agitador a cierta profundidad para que el embudo de remolino apenas llegue al agitador e "inyecte" burbujas de aire en la masa de agua. Alternativamente, dada una velocidad de rotación, a qué profundidad debo colocar el agitador.

Answer 1

Lo que pregunta es Flujo de Couette o más concretamente Flujo Taylor-Couette . Se sabe mucho sobre esto y, sorprendentemente, contrariamente a su suposición

Espero que después de un cierto tiempo, todo el volumen de agua se vea envuelto más o menos en una rotación estable/estacionaria y la superficie del agua muestre una forma típica de embudo de remolino

El flujo resultante suele ser inestable y puede presentar propiedades extrañas y frías (por ejemplo, vórtices de Taylor, también conocidos como "donuts de fluido").

Si suponemos que nuestros cilindros son infinitamente largos, podemos resolver exactamente la presión en el sistema y utilizar el criterio de que la superficie de equilibrio es la superficie de presión constante.

Utilizaremos el Ecuaciones de Euler para flujo incompresible, que ignora la viscosidad del fluido, junto con la expresión para $v_\theta(r)$ del artículo sobre el flujo de Couette $$ v_\theta(r)=\frac{r^2 \left(r_1^2 \omega _1-r_2^2 \omega _2\right)+r_1^2 r_2^2 \left(\omega _2-\omega _1\right)}{r \left(r_1^2-r_2^2\right)}\quad\text{and}\quad(\vec{v}\cdot\nabla)\vec{v}=\vec{g}-\frac{1}{\rho}\nabla p $$ Dónde $\omega_1$ es la velocidad angular de la varilla, $\omega_2$ es la velocidad angular del contenedor (si existe), $r_1$ es el radio de la varilla, $r_2$ es el radio del recipiente, $\rho$ es la densidad del fluido y $\vec{g}=-g\hat{z}$ es la gravedad.

Reordenando y calculando el gradiente se obtiene $$ \nabla p=\frac{\rho \left(r_1^4 r_2^4 \left(\omega _1-\omega _2\right){}^2-r^4 \left(r_1^2 \omega _1-r_2^2 \omega _2\right){}^2\right)}{r^3 \left(r_1^2-r_2^2\right){}^2}\hat{r}-\rho g\hat{z} $$ Que se puede resolver para dar

$$ p(r,z)=C-g \rho z-\frac{\rho \left(r^4 \left(r_1^2 \omega _1-r_2^2 \omega _2\right){}^2+r_1^4 r_2^4 \left(\omega _1-\omega _2\right){}^2\right)}{2 r^2 \left(r_1^2-r_2^2\right){}^2} $$

Por último, la forma de la superficie puede obtenerse a partir del superficie libre condición que nos indica que la superficie está a presión constante. Llamar a $z=0$ la altura de la superficie en la pared exterior para hallar $$ p(r,z_s)=p(r_2,0)\to z_s(r)=\frac{\left(r_2^2-r^2\right) \left(r^2 \left(r_1^2 \omega _1-r_2^2 \omega _2\right){}^2-r_1^4 r_2^2 \left(\omega _1-\omega _2\right){}^2\right)}{2 g r^2 \left(r_1^2-r_2^2\right){}^2} $$ Para su situación tenemos $$ \omega_2=0\to z_s(r)=\frac{r_1^4 \left(r_2^2-r^2\right){}^2 \omega _1^2}{2 g r^2 \left(r_1^2-r_2^2\right){}^2} $$ Y vemos que $\omega_1$ et $g$ no afectan a la forma. Tomando $r_2/r_1=10$ la situación es algo así

Esto es probablemente lo mejor que vas a hacer si quieres una ecuación analítica. Para ser más precisos, deberíamos abandonar la suposición de cilindros infinitamente largos, ya que los efectos del tamaño finito son obviamente importantes en la superficie. La derivación para $v_{\theta}(r)$ en ese caso se da aquí (¿de pago?) y el resultado gratis aquí . Es una suma infinita de funciones de Bessel, por lo que es un poco molesto trabajar con ella, pero debería ser posible mediante un simple truncamiento. Para ser aún más precisos, se podrían suprimir los supuestos de invisibilidad e incluso incompresibilidad (importante si se quiere tener en cuenta la aireación) y "pasar" de Euler a Navier-Stokes .

Si recuerdas, al principio mencioné que estas cosas pueden presentar propiedades extrañas y geniales, pero el resultado que encontramos no fue ni extraño ni especialmente genial. Esto se debe a que los fluidos reales tienen viscosidad y la interacción entre las inestabilidades y la amortiguación viscosa crea los interesantes estados metaestables del flujo de Taylor-Couette. Sin embargo, esos cálculos son mucho más complicados.

Dicho esto creo que es una aproximación bastante buena si quieres algo cualitativo y guay que tenga una solución de forma cerrada. También honestamente no tengo ni idea de cómo abordar la cuestión de la aireación además de simular completamente la hidrodinámica microscópica. En ese punto eres totalmente turbulento y realmente no tienes suerte de ninguna fórmula agradable.