¿Teorema del difeomorfismo para grupos de Lie?

Question

La red integral $\Bbb Z^n$ es un subgrupo discreto del grupo de Lie $\Bbb R^n$ . Por lo tanto, actúa libre y correctamente de forma discontinua sobre $\Bbb R^n$ y el espacio orbital $\Bbb R^n/\Bbb Z^n$ tiene una estructura de colector liso. Quería demostrar que $\Bbb R^n/\Bbb Z^n$ es difeomorfo al grupo toral $T^n = S^1\times\dots\times S^1$ . Me di cuenta de que puedo mostrar algo más general:

Sea $G$ sea un grupo de Lie y sea $F:G \to H$ sea una homomorfía suryectiva de grupo de Lie. Si $\Gamma=\ker F$ es un subgrupo discreto, entonces el espacio orbital $G/\Gamma$ es difeomorfo a $H$ .

Prueba parcial: Sea $\pi:G \to G/\Gamma$ sea el mapa cociente. Definir $\tilde{F}: G/\Gamma \to H$ por $\tilde{F}(\Gamma x) = F(x)$ . Se trata de una biyección bien definida que también es un homeomorfismo. Ahora bien, como $\pi$ es un mapa de cobertura, para cada $p \in G/\Gamma$ existe una vecindad conexa $U$ de $p$ y una vecindad conexa $\tilde{U}$ en $G$ tal que $\pi|\tilde{U}: \tilde{U} \to U$ es un difeomorfismo. Por lo tanto $\tilde{F}|U = F\circ\pi^{-1}$ y, por tanto, es un mapa suave. Por lo tanto $\tilde{F}$ es suave porque es localmente suave.

Esta prueba no está completa ya que no he demostrado que $\tilde{F}^{-1}$ es suave. Aquí es donde estoy atascado. Sería útil si alguien da una pista sobre cómo mostrar que $\tilde{F}$ es un difeomorfismo.

Answer 1

Una forma de verlo es la siguiente: has demostrado que $G/\Gamma \to H$ era un homeomorfismo. $\Gamma$ es discreta, lo que implica que $G$ et $H$ tienen la misma dimensión.

También, $G\to H$ es una inmersión (tienes que demostrarlo), por lo tanto en espacios tangentes es suryectiva, por lo que por un argumento de dimensión es un isomorfismo en espacios tangentes, por lo tanto $G\to H$ es un difeomorfismo local (por el teorema de inversión local).

Esto debería bastar para concluir

(Por cierto, es probable que ya lo sepas pero, por supuesto, el $T^n \cong \mathbb{R^n/Z^n}$ es completamente elemental y más fácil que el caso general)

Answer 2

Esto es cierto en un contexto más general: Supongamos que $F:G\to H$ es un homomorfismo de grupos de Lie cuya derivada $F':\mathfrak g\to\mathfrak h$ es suryectiva y que $H$ está conectado. Entonces $ker(F)$ es un subgrupo normal cerrado de $G$ y, por tanto, un subgrupo de Lie. Además, el espacio $G/H$ de cosets izquierdos (o equivalentemente de $H$ -orbits en $G$ ) canónicamente es una variedad lisa y, por tanto, un grupo de Lie y el mapa canónico $p:G\to G/ker(F)$ es un homomorfismo suryectivo de grupos de Lie y una inmersión suave. A continuación, la suryectividad de $F'$ y la conectividad de $H$ implican que $F$ es suryectiva. Por lo tanto $F$ induce un homomorfismo biyectivo $\underline{F}:G/ker(F)\to H$ tal que $\underline{F}\circ p=F$ . Desde $p$ es una inmersión suryectiva, esto implica que $\underline{F}$ es un homomorfismo biyectivo suave de grupos de Lie. Por último, es bien sabido que el álgebra de Lie de $ker(F)$ es $\ker(F')$ lo que implica inmediatamente que $\underline{F}$ tiene derivada biyectiva. Esto implica fácilmente que todos los mapas tangentes de $\underline{F}$ son isomorfismos lineales. Por lo tanto $\underline{F}$ es un difeomorfismo local y el teorema de la función inversa demuestra que su inversa es suave. Así pues, $\underline{F}:G/ker(F)\to H$ es un isomorfismo de grupos de Lie.