Decidir si un número es racional (2 ejemplos)

Question

1) Demostrar que el número irracional $\sqrt{7-\sqrt{2}}$

He creado un polinomio $x=\sqrt{7-\sqrt{2}}$, por lo que

$P(x)=x^4-14x^2+47$ y desde $47$ es el primer comprobamos $P(x)$$ {1,-1,47,-47}$, y dado que todos ellos se $P(x)\neq0$ significa que nuestro número es irracional.

Es mi profe OK ?

2) Decidir si el número de $\sqrt{\sqrt{5}+3}+\sqrt{\sqrt{5}-2}$ es racional o irracional. No sé cómo hacer frente a este. Yo estaría muy agradecido por las sugerencias

Answer 1

Usted no necesita todo eso! Si $\sqrt{7-\sqrt 2} = \dfrac{p}{q}$ es racional, entonces $\sqrt 2 = 7 - \dfrac{p^2}{q^2}$es racional. El que no lo es.

Answer 2

Para 2).

Si $p=\sqrt{\sqrt 5+3}+\sqrt{\sqrt 5-2}$ es un número racional, entonces $$\begin{align}p-\sqrt{\sqrt5+3}=\sqrt{\sqrt5-2}&\Rightarrow p^2-2p\sqrt{\sqrt5+3}+\sqrt5+3=\sqrt5-2\\&\Rightarrow 2p\sqrt{\sqrt5+3}=p^2+5\\&\Rightarrow 4p^2(\sqrt 5+3)=(p^2+5)^2\\&\Rightarrow \sqrt5=\frac{(p^2+5)^2}{4p^2}-3\end{align}$$ implica que $\sqrt 5$ es un número racional. Esta es una contradicción.