¿Por qué estudiar los grupos homotópicos simpliciales?

Question

La definición estándar de los grupos homotópicos simpliciales sólo funciona para los complejos Kan (cf. http://ncatlab.org/nlab/show/simplicial+grupo+homotópico ). Lo aprendí por las malas cuando intenté calcular un ejemplo muy sencillo: el grupo de homotopía de la frontera del símplex 2 estándar. Mi idea ingenua para calcular grupos de homotopía simplicial para conjuntos simpliciales arbitrarios era tomar el sustituto del fibrante. Pero obviamente necesitamos una estructura modelo para ello. Por otra parte, una equivalencia débil en la estructura modelo habitual para conjuntos simpliciales es precisamente una equivalencia débil de la realización geométrica (cf. http://ncatlab.org/nlab/show/model+estructura+en+conjuntos+simpliciales )

Según tengo entendido hasta ahora, la única forma satisfactoria de hablar de grupos de homotopía simpliciales requiere la noción de grupos de homotopía "clásicos". De ahí mi pregunta: ¿por qué sigue teniendo sentido hablar de grupos de homotopía simpliciales?

Answer 1

Para calcular los grupos de homotopía de un conjunto simplicial $X$ hay que ser capaz de construir una equivalencia débil $X \to Y$ donde $Y$ es un complejo de Kan, y luego calcular los grupos de homotopía de $Y$ utilizando las definiciones que estabais discutiendo.

Esto puede parecer circular - es necesario detectar si $X \to Y$ es una equivalencia. Sin embargo, se puede construir $Y$ directamente utilizando ciertas equivalencias más elementales. En concreto, para un mapa de un cuerno $\Lambda \to X$ podemos formar el pushout del diagrama $\Delta \leftarrow \Lambda \rightarrow X$ llamada $X'$ ; en realizaciones geométricas esto es homotópicamente equivalente porque se puede construir una retracción explícita. La clase de mapas $X \to Y$ generada por dichos pushouts se denomina familia de extensiones anodinas de $X$ , y siempre se puede construir una extensión anodina que es un Kan complejo por el argumento del objeto pequeño (se siguen pegando soluciones a todos los problemas posibles de llenado de cuernos).

Si desea una respuesta más canónica, también existe Kan's $\operatorname{Ex}^\infty$ construcción .

Si quieres otra referencia, están los trabajos más antiguos de Kan, y recuerdo que Joyal y Tierney también tienen bastantes detalles.

Answer 2

Si $X$ es un conjunto simplicial que no es Kan, se pueden calcular los grupos de homotopía de $X$ eligiendo una equivalencia homotópica débil $f: X \rightarrow Y$ donde $Y$ es Kan y aplicando la construcción que conoces a $Y$ . Hay muchas formas de caracterizar la relación entre $X$ et $Y$ sin mencionar siquiera la topología o las categorías de modelos (aunque no estoy seguro de que sea tan útil evitarlas). Por ejemplo, se puede tomar cualquier mapa $f: X \rightarrow Y$ con la siguiente propiedad: para cada complejo Kan $Z$ , composición con $f$ induce una biyección desde $[Y,Z]$ a $[X,Z]$ donde $[K,Z]$ denota el conjunto de mapas de $K$ en $Z$ por homotopía (simplicial). Existen varias construcciones puramente combinatorias de $Y$ de $X$ por ejemplo, Kan's $\operatorname{Ex}^{\infty}$ functor.

Answer 3

Así que toda esta discusión está en "Simplicial homotopy theory" de Goerss y Jardine y también en "Simplicial objects in algebraic topology" de May. También los trabajos y monografías de Curtis son muy agradables y clásicos. Una razón estética para querer grupos de homotopía simpliciales es mostrar que podemos calcular grupos de homotopía dentro de la categoría de conjuntos simpliciales. De este modo se establece esta maquinaria. Creo que Milnor demostró la comparación entre grupos simpliciales y digamos topológicos (aunque esto no es muy exacto, creo que algo así como grupos de homotopía CGHaus).

He aquí cómo se habla de los grupos de homotopía en el contexto de los conjuntos simpliciales: Primero necesitas la noción de cuerno. Un cuerno es la frontera de un n-simplex con una cara perdida. Ahora debes recordar que los conjuntos simpliciales tienen flechas en sus aristas, así que tenemos un par de cuernos diferentes en cada dimensión. En dimensión 2, por ejemplo, tenemos tres cuernos diferentes (y necesitaremos los tres para definir el grupo fundamental, además de un cuerno tridimensional para dar asociatividad). Así que ahora definimos un complejo Kan como un conjunto simplicial en el que cada cuerno se puede llenar a cualquier n-simplex que está contenido en (esto se escribe como una propiedad de elevación).

Así que usaremos esto para definir los grupos fundamentales, ya que los grupos homotópicos superiores son análogos. Escoge un punto base, y dos bucles basados en ese punto (si no queremos hablar de puntos base esta discusión funciona para groupoides fundamentales). Esto se puede realizar como un mapa de un cuerno de dos en el conjunto simplicial. Ahora elija un cuerno de relleno (no importa cuál, todos ellos difieren por equivalencia homotópica, es decir, un cuerno aún mayor llena esta elección de dos cuernos. Esto es similar a la teoría de categorías superiores). La operación de grupo de los dos bucles es el nuevo bucle creado en la frontera de los dos simplex. Si se consideran los otros dos rellenos de cuernos se obtendrán los inversos izquierdo y derecho en el grupo, que se debe demostrar que son homotópicamente equivalentes (mediante más rellenos de cuernos)

Todas las propiedades que cabría esperar de un composite de este tipo pueden demostrarse mediante rellenos de cuerno más (generalizados). Son las llamadas extensiones anodinas. Resulta que si se pueden rellenar todos los cuernos, se pueden rellenar todos los anodinos. Esto demostrará que la composición es independiente de la elección de los representantes.

Answer 4

Pues bien, tanto en el libro de Peter May como en el artículo de Curtis se demuestra que la categoría de homotopía de la categoría de conjuntos simpliciales de Kan es equivalente a la categoría de homotopía de complejos de CW. La equivalencia viene dada por los functores adjuntos "realización geométrica" y "conjunto simplicial singular total". Esta es una de las muchas motivaciones para estudiar los conjuntos simpliciales como un "modelo discreto" muy adecuado para los espacios topológicos. Una cosa muy buena de los conjuntos simpliciales es lo constructivas que son las cosas (a menudo :) ). Por lo que he leído, los conjuntos simpliciales se utilizaron por primera vez para construir espacios clasificatorios de grupos topológicos. El hecho de que podamos definir los grupos de homotopía dentro de la categoría de conjuntos simpliciales Kan es genial, porque esto nos da la oportunidad de estudiarlos utilizando también algunas herramientas combinatorias. Puedes consultar este artículo

http://arxiv.org/abs/1211.3093

Aquí los autores desarrollan un algoritmo de tiempo polinómico, que calcula grupos homotópicos de complejos simpliciales simplemente conectados. Por ejemplo, partiendo de un modelo de complejo simplicial finito de la 2-esfera, podemos introducir un ordenamiento de los vértices y generar un conjunto simplicial. Este conjunto simplicial nunca será Kan, pero utilizando torres de Postnikov y un modelo adecuado para los espacios de Eilenberg-MacLane, se pueden construir conjuntos simpliciales Kan, que lo aproximan homotópicamente y utilizar las etapas de Postnikov para los cálculos. El resultado es hermoso y muy constructivo. Espero que esto dé alguna motivación para el estudio de los grupos homotópicos simpliciales.