¿Existe alguna forma de extraer el valor absoluto arquimediano de $\mathbb{Q}$ de su estructura de campo de forma análoga a sus valores absolutos no arquimédicos?
He aquí un poco de contexto: Dado un anillo de valoración $A$ de un campo $K$ (es decir $x\in A$ o $x^{-1}\in A$ para todos $x\in K^{\times}$ ), sea $v$ sea el mapa cociente $K^{\times}\rightarrow K^{\times}/A^{\times}$ y que $\Gamma=K^{\times}/A^{\times}$ . Si definimos $\overline{x}\geq\overline{y}$ para $\overline{x},\overline{y}\in\Gamma$ siempre que $xy^{-1}\in A$ obtenemos una ordenación total en $\Gamma$ que sea compatible con la estructura del grupo. Además, si escribimos la operación de grupo en $\Gamma$ de forma aditiva, entonces $v:K\rightarrow\Gamma\cup\{\infty\}$ es una valoración aditiva en $K$ donde $0\mapsto\infty$ .
Si empezamos con $\mathbb{Q}$ y aplicando este proceso, obtenemos cada una de las $p$ -y la valoración trivial ( $v(q)=0$ a menos que $q=0$ ). Así que quiero saber si hay una construcción similar que produzca la valoración arquimediana (o valor absoluto).
Intento 1: Si empezamos buscando la norma en $\mathbb{C}=K$ y aspiran a $\Gamma$ sean los números reales aditivos, entonces, por analogía con la construcción anterior, queremos un subring $A$ de $\mathbb{C}$ tal que $\mathbb{C}^{\times}/A^{\times}$ es isomorfo a los números reales positivos bajo multiplicación. Intuitivamente, eso significaría que $A^{\times}$ es algo parecido al círculo unitario. Sin embargo, cada subring de $\mathbb{C}$ que contiene $S^1$ es en realidad sólo $\mathbb{C}$ .
Intento 2: Si intentamos utilizar $\mathbb{Z}=A$ en $\mathbb{Q}=K$ a pesar de que fracasa miserablemente en ser un anillo de valoración, entonces obtenemos $v:\mathbb{Q}^{\times}\rightarrow\mathbb{Q}^{\times}/\mathbb{Z}^{\times}=\Gamma$ . Desde $\Gamma$ es isomorfo al grupo multiplicativo de los números racionales positivos, al principio tuve alguna esperanza. En este caso, obtenemos un orden parcial en $\Gamma$ donde $\overline{x}\geq\overline{y}$ siempre que $x$ es un múltiplo integral de $y$ . Restringido al monoide multiplicativo $v(\mathbb{Z})$ este orden parcial no es más que la estructura de división de $\mathbb{Z}$ .
Una opción es consultar el total de pedidos en $\Gamma$ ampliando esta ordenación parcial. A priori, parece que existe un orden total diferente para cada permutación de los primos.
Otra opción es averiguar cómo "completar" $\mathbb{Q}$ con respecto a esta ordenación parcial y ver qué resulta. Si continúo la analogía con el caso de $A$ siendo un anillo de valoración, debería considerar un elemento $q\in\mathbb{Q}^{\times}$ estar cerca de $0$ si $v(q)\geq v(N)$ para algún número entero $N$ con muchos factores primos (contando la multiplicidad). Otro enfoque consiste en observar que $\Gamma\cong\bigoplus_{p\text{ prime}}\mathbb{Z}$ y pensando en este último grupo como un subgrupo de $\prod_{p\text{ prime}}\mathbb{Z}$ donde este último grupo recibe la topología de producto donde $\mathbb{Z}$ tiene la topología cofinita. No estoy seguro de si estos terminan dando las mismas cosas, pero sí sé que $n!$ es una sucesión de Cauchy no constante con respecto a la primera, aunque nula. Tengo la sensación de que las sucesiones de Cauchy no constantes deben ser nulas, pero tampoco he conseguido demostrarlo.
En fin, agradecería cualquier comentario o sugerencia sobre qué probar o qué leer.
