Compute $\int_{0}^{1}\int_{0}^{z}\int_{0}^{\sqrt{z^2-x^2}} \dfrac{e^{z^2}}{\sqrt{x^2+y^2}}\, dy\, dx\, dz$ utilizando este cambio de coordenadas.

Question

Compute $\int_{0}^{1}\int_{0}^{z}\int_{0}^{\sqrt{z^2-x^2}} \dfrac{e^{z^2}}{\sqrt{x^2+y^2}}\, dy\, dx\, dz$ utilizando este cambio de coordenadas.

Podría decirse que sí: $0\leq 1, 0\leq x\leq z, 0\leq y \leq \sqrt{z^2-x^2}$

Creo que deberían utilizarse coordenadas cilíndricas y no esféricas. Pero el cálculo se me ha hecho difícil, creo que hay más cosas a tener en cuenta.

Si $x=r\cos\theta, y=r\sin, z=z$ entonces

$$\int_{0}^{1}\int_{0}^{z}\int_{0}^{\sqrt{z^2-r^2\cos \theta}} e^{z^2}\, dr\, d\theta\, dz$$

El límite de la integración $\sqrt{z^2-r^2\cos \theta}$ se queda así, o debo hacer otra cosa.

Answer 1

Para el dominio de integración dado, según el siguiente esquema

por coordenadas cilíndricas, lo que es efectivamente una buena idea, obtenemos

$$\int_{0}^{1}\int_{0}^{z}\int_{0}^{\frac \pi 2} e^{z^2}\, d\theta\, dr\, dz=\frac \pi 2\int_{0}^{1} ze^{z^2}dz$$