Esferas holomorfas en espacios de torsión hiperkählerianos

Question

Fijar un colector hiperkähler $X$ y una identificación de $S^2$ con la esfera hiperkähler de $X$ . Consideremos ahora el espacio torsor $T := S^2\times X$ dotado de la estructura compleja tautológica. Para cada $x\in X$ tenemos un mapa holomorfo $u_x:S^2\to T$ definido por $u_x(\theta):=(\theta,x)$ .

Pregunta: ¿Es todo mapa holomorfo $u:S^2 \to T$ que satisface ${\rm pr}_1\circ u={\rm id_{S^2}}$ de esta forma?

Answer 1

Creo que el preprint arXiv:1006.0440 de Jardim y Verbitsky responderá a su pregunta. En resumen la respuesta es no, ya que si $\dim_C X = n$ entonces el espacio de deformación de las secciones tiene dimensión $\dim H^0(S^2,N_{S^2/S^2\times X}) = \dim H^0(P^1,O_{P^1}(1)^n) = 2n$ que es el doble de la dimensión del espacio que consideres.

Answer 2

Como explica Sascha, la respuesta a esta pregunta es no. Pero hay una reformulación de la pregunta como sigue: El espacio torsor tiene una involución antiholomorfa natural dada por $\rho(I,x)=(-I,x)$ pour $(I,x)\in S^2\times X.$ Entonces se puede preguntar si todas las secciones holomorfas que son reales, es decir. $s(-I)=\rho(s(I)),$ son líneas de torsión, es decir, de la forma $I\mapsto (I,x)$ para algunos $x\in X,$ ver mi pregunta mi pregunta sobre MO . La respuesta a la pregunta es de nuevo no, pero tales ejemplos son más complicados de construir que las deformaciones descritas en la respuesta de Sascha.