Determinante llamado Grammian

Question

Famosamente, si las funciones $f_1,f_2,…,f_n$ cada una de las cuales posee una derivada de orden $n-1$ son linealmente independientes en el intervalo $I$ si $$ \det\left( \begin{array}{ccccc} f_1 & f_2 & f_3 &… &f_n \\ f'_1 & f'_2 & f'_3 &... &f'_n \\ & & & & \\ f_1^{(n-1)} & f_2^{(n-1)} & f_3^{(n-1)} &... &f_n^{(n-1)} \end{array} \right) $$ llamado Wronskian de $f_1,f_2,…,f_n$ no es cero en al menos un punto del intervalo $I$ . De forma equivalente, si las funciones $f_1,f_2,…,f_n$ poseen al menos $n-1$ y dependen linealmente de $I$ entonces $W(f_1,f_2,…,f_n)(x)=0$ para cada $x\in I$ . Así que esta afirmación equivalente da sólo una condición necesaria para la dependencia de las funciones anteriores en el intervalo. Afortunadamente, existe una condición necesaria y suficiente para la dependencia de un conjunto de funciones $f_1(x),f_2(x),…,f_n(x), x\in I$ :

Un conjunto de funciones $f_1(x),f_2(x),…,f_n(x), x\in I$ depende linealmente de $I$ si el determinante de abajo es idénticamente cero en $I$ : $$ \det\left( \begin{array}{ccccc} \int_{a}^{b} f_1^2 dx& \int_{a}^{b} f_1f_2 dx&… &\int_{a}^{b}f_1f_ndx \\ \int_{a}^{b}f_2f_1dx & \int_{a}^{b}f_2^2 dx &... &\int_{a}^{b}f_2f_ndx \\ & & & \\ \int_{a}^{b}f_nf_1dx & \int_{a}^{b}f_nf_2dx&... &\int_{a}^{b}f_n^2dx \end{array} \right) $$

Parece ser un gran teorema práctico, pero no he podido encontrar su demostración. Le agradezco mucho su ayuda.

Answer 1

Si suponemos que $f_j$ son continuos, entonces definimos un producto interior por $\langle f,g\rangle=\int_a^bf(x)g(x)dx$ . Considere $g_1,\ldots,g_n$ tal que $\{g_1,\ldots,g_n\}$ es ortonormal y $\operatorname{span}\{g_1,\ldots,g_n\}=\operatorname{span}\{f_1,\ldots,f_n\}$ . Podemos escribir $f_i=\sum_{j=1}^n\alpha_{ij}g_j$ y si $\alpha$ denota la matriz cuyas entradas son $\alpha_{i,j}$ tenemos que $G=\alpha \alpha^T$ donde $G$ es la última matriz de la OP.

La matriz $G$ es invertible si y sólo si también lo es $\alpha$ que da el resultado.

En efecto, si $\sum_{j=1}^n\beta_k\alpha_{k,j}=0$ para algunos $\beta_k$ no todos $0$ entonces $\sum_k\beta_kf_k=0$ .

Answer 2

Esto es realmente un hecho sobre espacios vectoriales reales de dimensión finita con un producto interior. Supongamos que $V$ es de dimensión $n,$ con un producto interior definido positivo $\langle , \rangle.$ Supongamos que tomamos una base ortonormal $e_i.$ Por último, supongamos que tenemos un conjunto de $n$ vectores $f_j.$ Define dos determinantes, $$ A = \det \left( \langle e_i, f_j \rangle \right), $$ y $$ B = \det \left( \langle f_i, f_j \rangle \right). $$ Entonces $$ A^2 = B. $$ El determinante $A$ no es más que el conjunto de coeficientes del $f_j$ en términos de $e_i,$ por lo que el determinante es $0$ si y sólo si el $f_j$ son dependientes. Lo mismo para $B.$